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TRIANGLE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

TRIGONOMÉTRIE.

Sur l’aire du triangle sphérique ;

Par M. Tédenat, correspondant de l’institut, recteur de
l’académie de Nismes.

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Tout le monde connaît le beau théorème de Cavalleri, sur l’aire du triangle sphérique, et on le trouve démontré très-simplement dans la plupart des traités élémentaires ; mais les jeunes-gens qui étudient le calcul différentiel ne seront peut-être pas fâchés d’en trouver ici la démonstration suivante, fondue sur les principes de ce calcul.

Soient $a,b,c$ (fig. 2) les trois côtés d’un triangle sphérique $A,B,C$ les trois angles respectivement opposés, et $S$ son aire.

Si le côté $c$ et l’angle $B$ restant fixes, l’angle $A$ vient à croitre de la quantité arbitraire $i,$ de manière que le côté $b$ devienne $b',$ que $AC$ devienne $AC',$ et l’aire du triangle $S'\,;$ on aura, par la Série de Taylor,

$S'=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots ,$

$b'=b+{\frac {\operatorname {d} b}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}b}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots =b+Mi.$

Du sommet $A$ comme pôle, soient décrits, entre les côtés de l’angle $i,$ les arcs de parallèles $Cm,C'm',$ et des points $C$ et $m'$ soient abaissées sur le rayon $OA$ de la sphère les perpendiculaires $CD,m'D'\,;$ on pourra toujours prendre $i$ assez petit, sans être nul, pour avoir