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DE LA CYCLOÏDE.
![{\displaystyle \varpi x'y'^{2}\operatorname {d} x'=32\pi r^{4}t'^{2}u'^{4}\operatorname {d} z'(z'+t'u'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f682d097225ed89c3df3f6b48cb2331ff9f17bbd)
dont l’intégrale, commençant avec
est (I)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{9}}\varpi r^{4}\left\{9z'^{2}+6t'u'z'\left(3-14t'^{2}+8t'^{4}\right)+\left(1-t'^{2}\right)\left(16+25t'^{2}-68t'^{4}+36t'^{6}\right)\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738fe300e4803f7f554f5b7beecebac9bda96bc9)
divisant donc par la formule (mm), on aura, pour la distance du point
au centre de gravité de ce corps,
![{\displaystyle {\tfrac {r\left\{9z'^{2}+6t'u'z'\left(3-14t'^{2}+8t'^{4}\right)+\left(1-t'^{2}\right)\left(16+25t'^{2}-68t'^{4}+36t'^{6}\right)\right\}}{3\left\{3z'+t'u'\left(3-14t'^{2}+8t'^{4}\right)\right\}}}.\quad (rr')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5875333469546dbb99698242e121e39b65ab7f35)
En conséquence, s’il s’agit de la distance du point
au centre de gravité du corps engendré par
tournant autour de
on trouvera pour son expression
![{\displaystyle r.{\frac {\varpi ^{2}+4}{2\varpi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf63321222d085f42986f00cd656beed35f26427)
L’élément du second de ces deux corps étant
le moment de cet élément, par rapport au plan perpendiculaire à l’axe, passant par
sera
![{\displaystyle \varpi x'^{2}y'\operatorname {d} y'=32\varpi r^{4}t'u'^{3}(z'+t'u')^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe77154a90862ae27bbbbe359b9f81fc2f69fd8)
dont l’intégrale, commençant avec
est (I)
![{\displaystyle {\tfrac {1}{9}}\varpi r^{4}\left\{9z'^{2}\left(7-16t'^{2}+8t'^{4}\right)+6t'u'z'\left(21-34t'^{2}+16t'^{4}\right)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44c094d35cf3cfdb0d8a0a384c9b1b4baf73bfc)
![{\displaystyle \left.-\left(1-t'^{2}\right)\left(16-47t'^{2}+76t'^{4}-36t'^{6}\right)\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a4ce0aebaaea3f27e6cbe449e70311180e89a0)
divisant donc par la founule (nn), on aura, pour la distance du point
au centre de gravité de ce corps,
![{\displaystyle {\tfrac {r\left\{9z'^{2}\left(7-16t'^{2}+8t'^{4}\right)+6t'u'z'\left(21-34t'^{2}+16t'^{4}\right)-\left(1-t'^{2}\right)\left(16-47t'^{2}+76t'^{4}-36t'^{6}\right)\right\}}{6\left\{3z'^{2}\left(3-4t'^{2}\right)+6t'u'z'\left(3-2t'^{2}\right)-\left(1-t'^{2}\right)\left(4-5t'^{2}+4t'^{4}\right)\right\}}}.\quad (ss)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c48cb746ac6339c916da93e8687369113c0188a)
En conséquence, s’il s’agit de la distance du point
au centre de gravité du corps engendré par
tournant autour de
on trouvera pour son expression
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r.{\frac {7\varpi ^{2}-4}{3\varpi ^{2}-4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7540217a2884eb03b339101a9a68ee163d32fd36)
On voit, d’après ce qui précède, qu’il sera toujours facile de déterminer le centre de gravité du corps engendré par un segment quelconque de cycloïde, tournant autour de
ou
Paris, 17 janvier 1815.