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QUESTIONS

$\mathrm {AH=AE,\qquad BE=BF} .\qquad$(4)

Au moyen des équations (4), l’équation (2) se réduit à

$\mathrm {CG+DG=CF+DH} .\qquad$(5)

Présentement $\mathrm {OC,OD}$ étant l’une et l’autre hypothénuses communes de deux triangles rectangles, on doit avoir

${\overline {\mathrm {OF} }}^{2}+{\overline {\mathrm {CF} }}^{2}={\overline {\mathrm {OG} }}^{2}+{\overline {\mathrm {CG} }}^{2},$

${\overline {\mathrm {OH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {DH} }}^{2}={\overline {\mathrm {OG} }}^{2}+{\overline {\mathrm {DG} }}^{2},$

retranchant donc, et ayant, égard à l’équation (3), il viendra

${\overline {\mathrm {CF} }}^{2}-{\overline {\mathrm {DH} }}^{2}={\overline {\mathrm {CG} }}^{2}-{\overline {\mathrm {DG} }}^{2},$

ou

$\mathrm {(CF+DH)(CF-DH)=(CG+DG)(CG-DG)} ,$

ou, simplement, en vertu de (5),

$\mathrm {CF-DH=CG-DG} ,$

ou encore en ajoutant et retranchant cette dernière à l’équation (5), transposant, réduisant et divisant par 2.

$\mathrm {DG=DH,\qquad CG=CF} \,;$

les deux triangles rectangles $\mathrm {OFC,OGC}$ sont donc égaux, ainsi que les deux triangles rectangles $\mathrm {OHD,OGD} \,;$ on a donc

$\mathrm {OG=OF=OH=OE} ,$

et par conséquent le cercle décrit du point $\mathrm {O}$ comme centre, et avec l’une quelconque de ces quatre droites pour rayon, touchera les côtés du quadrilatère aux points $\mathrm {E,F,G,H} ,$ et lui sera en effet circonscrit.^[1]

1. On aurait pu ne point mener d’abord $\mathrm {OG} ,$ démontrer, comme ci-dessus, que $\mathrm {CD=CF+DH} ,$ déterminer le point $\mathrm {G}$ par la condition $\mathrm {CG=CF} ,$ d’où $\mathrm {DG=DF}$ et mener alors $\mathrm {OG} .$ On aurait remarqué ensuite que d’après cette construction les cercles décrits des points $\mathrm {A,B,C,D}$ comme centres et avec les rayons respectifs $\mathrm {AE}$ ou $\mathrm {AH,\ BE}$ ou $\mathrm {BF,\ CF}$ ou $\mathrm {CG,\ DG}$ ou $\mathrm {DU}$ se touchent deux à