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DES DÉRIVATIONS.
Article premier.
Développement des fonctions selon les puissances ascendantes
de la variable.
1. On sait, par le théorème de Taylor, que toute fonction d’un binôme
(
étant une variable qui reste indéterminée), peut
être développée en une série de cette forme
(1)
(1)
![{\displaystyle \qquad \operatorname {f} (\alpha +x)=a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066fd80be1327af44eff89266b74ffaf99427ce2)
les coeffiiens
étant déterminés par les valeurs que prennent la fonction
et ses coefficiens différentiels ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d.f} (\alpha +x)}{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d^{2}.f} (\alpha +x)}{1.2\operatorname {d} x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a94e2a6f73d98e3ca573cd5f07cb1068fcafaf8)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d^{3}.f} (\alpha +x)}{1.2.3\operatorname {d} x^{3}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7040ecf81bbf73a2da1c9709dcb51b5faf2d713)
lorsqu’après la différentiation on y fait ![{\displaystyle x=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71320d636c7a43546bf4e94edb94649c5b2e82b9)
Nous représenterons ces valeurs particulières des coefficiens différentiels par
et nous appellerons, avec
Arbogast, les quantités
dérivées, première, seconde, troisième,… de
Ainsi la dérivée
d’un ordre quelconque
n’est autre chose que ce que devient le coefficient différentiel
lorsqu’on y fait
Nous aurons donc
![{\displaystyle (2)\left\{{\begin{aligned}a_{1}&={\tfrac {1}{1}}\operatorname {Df} \alpha ={\tfrac {1}{1}}\operatorname {D} a,\\a_{2}&={\tfrac {1}{1.2}}\operatorname {D^{2}f} \alpha ={\tfrac {1}{1.2}}\operatorname {D} ^{2}a,\\a_{3}&={\tfrac {1}{1.2.3}}\operatorname {D^{3}f} \alpha ={\tfrac {1}{1.2.3}}\operatorname {D} ^{3}a,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\a_{n}&={\tfrac {1}{1.2.\ldots n}}\operatorname {D^{n}f} \alpha ={\tfrac {1}{1.2.\ldots n}}\operatorname {D} ^{n}a\,;\\\end{aligned}}\right\}{\begin{aligned}&\mathrm {d'o{\grave {u}}\ l'on\ tire} \\&\mathrm {r{\acute {e}}ciproquement} \end{aligned}}\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Df} a=a_{1},\\&\operatorname {D^{2}} a=1.2a_{2},\\&\operatorname {D^{3}} a=1.2.3a_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\&\operatorname {D} ^{n}a=1.2.\ldots na_{n}.\\\end{aligned}}\right\}(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234c377eab71501e95072f3ba9c89c969c35df6c)