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DES DÉRIVATIONS.

Article premier.

Développement des fonctions selon les puissances ascendantes
de la variable.

1. On sait, par le théorème de Taylor, que toute fonction d’un binôme $\alpha +x$ ( $x$ étant une variable qui reste indéterminée), peut être développée en une série de cette forme (1)

(1)

\qquad \operatorname {f} (\alpha +x)=a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots \,;

les coeffiiens $a,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ étant déterminés par les valeurs que prennent la fonction $\operatorname {f} (\alpha +r)$ et ses coefficiens différentiels ${\frac {\operatorname {d.f} (\alpha +x)}{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d^{2}.f} (\alpha +x)}{1.2\operatorname {d} x^{2}}},$ ${\frac {\operatorname {d^{3}.f} (\alpha +x)}{1.2.3\operatorname {d} x^{3}}},\ldots ,$

lorsqu’après la différentiation on y fait $x=0.$

Nous représenterons ces valeurs particulières des coefficiens différentiels par $\operatorname {D.f} \alpha ,{\frac {1}{1.2}}\operatorname {D^{2}.f} \alpha ,{\frac {1}{1.2.3}}\operatorname {D^{3}.f} \alpha \ldots \,;$ et nous appellerons, avec Arbogast, les quantités $\operatorname {D.f} \alpha ,\operatorname {D^{2}.f} \alpha ,\operatorname {D^{3}.f} \alpha ,\ldots ,$ dérivées, première, seconde, troisième,… de $f\alpha .$ Ainsi la dérivée $\operatorname {D^{n}.f} \alpha ,$ d’un ordre quelconque $n,$ n’est autre chose que ce que devient le coefficient différentiel ${\frac {\operatorname {d^{n}.f} (\alpha +x)}{\operatorname {d} x^{n}}},$ lorsqu’on y fait $x=0.$ Nous aurons donc

(2)\left\{{\begin{aligned}a_{1}&={\tfrac {1}{1}}\operatorname {Df} \alpha ={\tfrac {1}{1}}\operatorname {D} a,\\a_{2}&={\tfrac {1}{1.2}}\operatorname {D^{2}f} \alpha ={\tfrac {1}{1.2}}\operatorname {D} ^{2}a,\\a_{3}&={\tfrac {1}{1.2.3}}\operatorname {D^{3}f} \alpha ={\tfrac {1}{1.2.3}}\operatorname {D} ^{3}a,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\a_{n}&={\tfrac {1}{1.2.\ldots n}}\operatorname {D^{n}f} \alpha ={\tfrac {1}{1.2.\ldots n}}\operatorname {D} ^{n}a\,;\\\end{aligned}}\right\}{\begin{aligned}&\mathrm {d'o{\grave {u}}\ l'on\ tire} \\&\mathrm {r{\acute {e}}ciproquement} \end{aligned}}\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {Df} a=a_{1},\\&\operatorname {D^{2}} a=1.2a_{2},\\&\operatorname {D^{3}} a=1.2.3a_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\&\operatorname {D} ^{n}a=1.2.\ldots na_{n}.\\\end{aligned}}\right\}(3)