Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/73

67

DES DÉRIVATIONS.

en observant cependant que, dans ce cas, chacun des signes de dérivation indique des opérations ultérieures à exécuter, que nous expliquerons dans la remarque suivante : c’est pourquoi nous avons mis un point après chaque signe de dérivation, pour marquer cette différence.

En comparant terme à terme l’équation (7) avec celle (6), on en tire les valeurs suivantes :

(8)$\qquad A=\phi a,A_{1}=\operatorname {D} .\phi a,A_{2}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a,A_{3}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a,\ldots$

et par conséquent

(9)$\qquad \phi a=A,\operatorname {D} .\phi a=A_{1},\operatorname {D} ^{2}.\phi a=2A_{2},\operatorname {D} ^{3}.\phi a=6A_{3},\ldots ,$

6. Remarque. Nous avons démontré, dans la remarque du n.^o 2, qu’on a, en général, $\operatorname {D^{n}f} \alpha ={\frac {\operatorname {d^{n}f} \alpha }{\operatorname {d} \alpha ^{n}}}\,;$ on a donc aussi

$\operatorname {D} .\phi \operatorname {f} \alpha ={\frac {\operatorname {d} (\phi \operatorname {f} \alpha }{\operatorname {d} \alpha }},\operatorname {D^{2}} .\phi \operatorname {f} \alpha ={\frac {\operatorname {d^{2}} (\phi \operatorname {f} \alpha }{\operatorname {d} \alpha ^{2}}},\operatorname {D^{3}} .\phi \operatorname {f} \alpha ={\frac {\operatorname {d^{3}} (\phi \operatorname {f} \alpha }{\operatorname {d} \alpha ^{3}}},\ldots$

$\operatorname {D} .\phi a={\frac {\operatorname {d} (\phi a)}{\operatorname {d} \alpha )}},\operatorname {D^{2}} .\phi a={\frac {\operatorname {d^{2}} (\phi a)}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}},\operatorname {D^{3}} .\phi a={\frac {\operatorname {d^{3}} (\phi a)}{\operatorname {d} \alpha ^{3}}},\ldots$

Or, d’après les règles ordinaires de la différentiation des fonctions de fonctions, ou des fonctions de variables qui sont elles-mêmes fonctions de la variable principale, on a

${\frac {\operatorname {d} (\phi \operatorname {f} \alpha )}{\operatorname {d} \alpha }}={\frac {\operatorname {d} (\phi \operatorname {f} \alpha )}{\operatorname {df} \alpha }}.{\frac {\operatorname {df} \alpha }{\operatorname {d} \alpha }},$

${\frac {\operatorname {d^{2}} (\phi \operatorname {f} \alpha )}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}={\frac {\operatorname {d} \left[{\frac {\operatorname {d} (\phi \operatorname {f} \alpha )}{\operatorname {df} \alpha }}.{\frac {\operatorname {df} \alpha }{\operatorname {d} \alpha }}\right]}{\operatorname {d} \alpha }}={\frac {\operatorname {d} (\phi \operatorname {f} \alpha )}{\operatorname {df} \alpha }}.{\frac {\operatorname {d^{2}.f} \alpha }{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}+{\frac {\operatorname {d^{2}} (\phi \operatorname {f} \alpha )}{(\operatorname {df} \alpha )^{2}}}.\left({\frac {\operatorname {df} \alpha }{\operatorname {d} \alpha }}\right)^{2},$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;$

ou, en mettant $a$ au lieu de $\operatorname {f} \alpha ,$

${\frac {\operatorname {d} (\phi a)}{\operatorname {d} \alpha }}={\frac {\operatorname {d} (\phi a)}{\operatorname {d} a}}.{\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} \alpha }},$

${\frac {\operatorname {d^{2}} (\phi a)}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}={\frac {\operatorname {d} \left[{\frac {\operatorname {d} (\phi a)}{\operatorname {d} a}}.{\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} \alpha }}\right]}{\operatorname {d} \alpha }}={\frac {\operatorname {d} (\phi a)}{\operatorname {d} \alpha }}.{\frac {\operatorname {d^{2}} a}{\operatorname {d} \alpha ^{2}}}+{\frac {\operatorname {d^{2}} (\phi a)}{\operatorname {d} a^{2}}}.\left({\frac {\operatorname {d} a}{\operatorname {d} \alpha }}\right)^{2},$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$