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CALCUL

mettent pas d’entrer dans ces détails : nous nous contenterons d’ajouter encore le développement des produits de deux polynômes et de deux fonctions de polynômes, parce que nous en aurons besoin pour la théorie du retour des suites.

Proposons-nous d’abord de développer le produit

(11) $\left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots \right)\times \left(b+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}+\ldots \right)$

en une série de la forme

$\left(A+A_{1}x+A_{2}x^{2}+A_{3}x^{3}+\ldots \right)$

En effectuant [a multiplication, par le procédé ordinaire, on obtient

(12)$\left\{{\begin{aligned}A&=ab,\\A_{1}&=ab_{1}+a_{1}b,\\A_{2}&=ab_{1}+a_{1}b,\\A_{3}&=ab_{3}+a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\A_{n}&=ab_{n}+a_{1}b_{n-1}+a_{2}b_{n-2}+\ldots +a_{n-2}b_{2}+a_{n-1}b_{1}+a_{n}\,;\\\end{aligned}}\right.$

où la loi est évidente.

D’après le n.^o 3, le problème peut se mettre sous la forme

$(13)\ \left(a+\operatorname {D} a.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}a.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}a.x^{3}+\ldots \right)\times \left(b+\operatorname {D} b.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}b.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}b.x^{3}+\ldots \right)$

$=A+A_{1}x+A_{2}x^{2}+A_{3}x^{3}+\ldots$

En substituant donc, dans les équations (12), pour $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,$ $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots$ leurs valeurs en dérivées de $a$ et de $b,$ d’après le n.^o 3, on obtient

(14)$\left\{{\begin{aligned}A&=ab,\\A_{1}&=\operatorname {D} (ab)=a.\operatorname {D} b+\operatorname {D} a.b,\\A_{2}&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}(ab)=a.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}b+\operatorname {D} a.\operatorname {D} b+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}a.b,\\A_{3}&={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}(ab)\\&=a.{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}b+\operatorname {D} a.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}b+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}a.\operatorname {D} b+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}a.b,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\A_{n}&={\tfrac {1}{1.2\ldots n}}\operatorname {D} ^{n}(ab)\\&=a.{\tfrac {\operatorname {D} ^{n}b}{1.2\ldots n}}+\operatorname {D} a.{\tfrac {\operatorname {D} ^{n-1}b}{1.2\ldots (n-1)}}+\ldots +{\tfrac {\operatorname {D} ^{n-2}a}{1.2\ldots (n-1)}}\operatorname {D} b+{\tfrac {\operatorname {D} ^{n}a}{1.2\ldots n}}b\,;\\\end{aligned}}\right.$