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DES DÉRIVATIONS.

où $a$ et $b$ (d’après les n.^os 3 et 4)sont supposés être respectivement fonctions de deux quantités arbitraires $\alpha$ et $\beta ,$ dont les dérivées sont $\operatorname {D} \alpha =1,\ ,\operatorname {D} ^{2}\alpha =0,\ ,\operatorname {D} \beta =1,\ ,\operatorname {D} ^{2}\beta =0,\ldots$

De la comparaison des formules (12) et (14) résulte la règle pratique suivante ;

Règle.

Pour déduire $A_{n+1}$ de $A_{n}$ [formules (12)], 1.^o ne faites varier dans chaque terme, que $b$ et ses dérivées, en écrivant $b_{1}$ pour $\operatorname {D} b,\ b_{2}$ pour $\operatorname {D} b_{1},\ b_{3}$ pour $\operatorname {D} b_{2}\ldots \,;$ 2.^o dans le dernier terme seulement, qui contient la plus haute dérivée de $a,$ faites varier cette dérivée, en écrivant $a_{n+1}$ pour $\operatorname {D} a_{n}.$

13. Soit maintenant à développer le produit de deux fonctions de polynômes

(15) $\qquad \phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots \right)\times \psi \left(b+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}+\ldots \right)$

$=A+A_{1}x+A_{2}x^{2}+A_{3}x^{3}+\ldots$

D’après le n.^o 5, cette équation peut être mise sous la forme

(16) $\left(\phi a+\operatorname {D} .\phi a.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.x^{2}+\ldots \right)\left(\psi b+\operatorname {D} .\psi b.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\psi b.x^{2}+\ldots \right)$

$=A+\operatorname {D} .A.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.A.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.A.x^{3}+\ldots$

qui, étant comparée à celle (13), fait voir qu’il suffit de remplacer, dans celle-ci, $a$ par $\phi a,\ b$ par $\psi b,$ et les signes de dérivation sans points par des signes de dérivation avec points ; on aura donc, d’après le même n.^o 5, les équations analogues à celles (14), c’est-à-dire,

${\begin{aligned}A&=\phi a.\psi b,\\A_{1}&=\operatorname {D} (\phi a.\psi b)=\phi a.\operatorname {D} \psi b+\operatorname {D} .\phi a.\psi b,\\A_{2}&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}(\phi a.\psi b)=\phi a.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\psi b+\operatorname {D} .\phi a.\operatorname {D} .\psi b+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.\psi b,\\A_{3}&={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}(\phi a.\psi b)\\&=\phi a.{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\psi b+\operatorname {D} \phi a.{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\psi b+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.\operatorname {D} .\psi b+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a.\psi b,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\A_{n}&={\tfrac {1}{1.2\ldots n}}\operatorname {D} ^{n}(\phi a.\psi b)\\&=\phi a.{\tfrac {1}{1.2\ldots n}}\operatorname {D} ^{n}.\psi b+\operatorname {D} .\phi a.{\tfrac {1}{1.2\ldots (n-1)}}\operatorname {D} ^{n-1}.\psi b+\ldots \\&\qquad +{\tfrac {1}{1.2\ldots (n-1)}}\operatorname {D} ^{n-1}.\phi a.\operatorname {D} .\psi b+{\tfrac {1}{1.2\ldots n}}\operatorname {D} ^{n}.\phi a.\psi b\,;\\\end{aligned}}$