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CALCUL

Pour en déduire celui du même terme dans $A_{5},$ je fais d’abord varier les $b,$ ce qui donne $a_{1}^{2}b_{3}+2a_{1}a_{2}b_{1}\,;$ faisant ensuite varier les $a$ dans le dernier terme $2a_{1}a_{2}b_{1},$ on a, d’après la première partie de la règle du n.^o 8, $2a_{1}a_{3}b,$ et d’après la seconde partie de cette règle $a_{2}^{2}b_{1}.$ Rassemblant tous ces termes, on a le coefficient de ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.\psi b$ dans $A_{5}.$

2.^o En appliquant la seconde partie de la règle ci-dessus aux cinq termes de la dernière colonne de $A_{4},$ on obtient les cinq premiers termes de la dernière colonne de $A_{5}$ ;

3.^o Enfin, en appliquant la troisième partie de la règle ci-dessus au dernier terme ${\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}\phi a.\psi b.a_{1}^{4}$ de la dernière colonne de $A_{4},$ on obtient le dernier terme ${\tfrac {1}{120}}\operatorname {D} ^{5}\phi a.\psi b.a_{1}^{5}$ de la dernière colonne de $A_{5}.$

Cette règle est encore d’une exécution très-facile, et si expéditive qu’on peut écrire de suite, et sans s’arrêter, les termes successifs du développement. Elle n’est, jusqu’à présent, de même que celle du n.^o 8, qu’une conclusion d’induction ; mais nous la démontrerons complètement dans la suite, et nous donnerons aussi une règle très-simple, pour écrire immédiatement un terme quelconque du développement, indépendamment de ceux qui le précèdent.

16. Remarque I. En examinant la composition des termes successifs (18) du développement de l’équation (15), on découvre la loi remarquable suivante qui y règne. Le terme général $A_{n}$ est composé de $n$ colonnes, ordonnées selon les dimensions des exposans des dérivées de $\phi a$ et $\psi b,$ de manière que la m.^me colonne contient les $m+1$ termes

$\phi a.{\frac {\operatorname {D} ^{m}\psi b}{1.2\ldots m}},\operatorname {D} \phi a.{\frac {\operatorname {D} ^{m-1}\psi b}{1.2\ldots (m-1)}},\ldots {\frac {\operatorname {D} ^{m-1}\phi a}{1.2\ldots (m-1)}}.\operatorname {D} \psi b,{\frac {\operatorname {D} ^{m}\phi a}{1.2\ldots m}}\psi b.$

Chacun de ces termes a pour coefficient une fonction des quantités polynômiales $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,$ $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,$ dont voici la formation : en supposant $r+s=m$, le coefficient du terme ${\frac {\operatorname {D} ^{r}\phi a}{1.2\ldots r}}.{\frac {\operatorname {D} ^{s}\psi b}{1.2\ldots s}}$ est composé de tous les produits de $m$ lettres, dont un nombre $r$ des