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CALCUL

tant il est vrai que souvent le plus léger changement dans les notations peut avoir l’influence la plus heureuse sur les méthode.

17. Remarque II. La théorie que nous venons d’exposer, contient tout ce qui est nécessaire pour le développement complet des fonctions d’un polynôme, et même, à la rigueur, pour celui d’une fonction quelconque de deux polynômes indépendans ; car il suffirait, pour le développement de $\phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,b+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots \right),$ de remplacer, dans les formules (18), les produits tels que ${\frac {\operatorname {D} ^{r}\phi a}{1.2\ldots r}}.{\frac {\operatorname {D} ^{s}\psi b}{1.2\ldots s}}$ par les dérivées partielles du même ordre de $\phi (a,b).$ Mais, nous allons encore envisager cette théorie sous un autre point de vue, qui nous facilitera singulièrement l’exposition de celle du retour des fonctions et des séries, à laquelle nous nous proposons de consacrer l’article II.

18. On a, par le n.^o I,

(19)$\qquad \phi (a+y)=\phi a+\operatorname {D} \phi a.y+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a.y^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a.y^{3}+\ldots$

Si l’on suppose

(20)$\qquad y=a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots =x\left(a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+\ldots \right),$

où les coefficiens $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ représentent des quantités quelconques et indépendantes, et qu’on substitue cette valeur de $y$ dans l’équation (19), son premier membre se transformera en celui de l’équation (7) ; on aura donc

(21)$\qquad \phi (a+y)=\phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots \right)$

$=\phi a+\operatorname {D} \phi ax+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi ax^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi ax^{3}+\ldots$

Ces deux développements ne diffèrent l’un de l’autre qu’en ce que, dans les dérivées du premier, on suppose $\operatorname {D} a=1,\operatorname {D} ^{2}a=0,\operatorname {D} ^{3}a=0,\ldots$ et dans, celle du second, $\operatorname {D} a=a_{1},\operatorname {D} ^{2}a=2a_{2},\operatorname {D} ^{3}a=6a_{3},\ldots .$ La manière de déduire les dérivées suivies d’un point, de celles sans point a été exposée aux n.^os 7 et 8.

L’équation (21) fournit donc le moyen de résoudre cette ques-