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DES DÉRIVATIONS.

tion : $y$ étant une fonction donnée de $x$, ou un polynôme en $x$ ; développer, selon les puissances de $x$, une fonction quelconque $\phi (a+y)$ ? En effet, d’après le n.^o 3, l’équation (20) peut être mise sous la forme

(22)$\qquad y=x\operatorname {f} (\alpha +x),$

et l’on a

(23)$\qquad a_{1}=\operatorname {f} \alpha ,\quad a_{2}=\operatorname {D} \operatorname {f} \alpha ,\quad a_{3}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\operatorname {f} \alpha ,\quad a_{4}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\operatorname {f} \alpha ,\ldots \,;$

c’est-à-dire, que $a_{1}$ doit être considéré comme un premier terme de polynôme.

En substituant ces valeurs dans l’équation (21), on obtient

(24)$\phi \left\{a+x\operatorname {f} (\alpha +x)\right\}=\phi \left(a+\operatorname {f} \alpha .x+\operatorname {D} \operatorname {f} \alpha .x^{2}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\operatorname {f} \alpha .x^{3}+\ldots \right)$

$=\phi a+\operatorname {D} .\phi a.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.x^{3}+\ldots ,$

où, dans le développement du dernier membre, qu’on exécute d’après la règle du n.^o 8, il faut substituer, pour $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ leurs valeurs (23).

19. Si, dans la question du n.^o précédent, la valeur de $y$ était donnée par l’équation suivante :

(25)$\qquad y=x\psi \operatorname {f} (\alpha +x)$

qui, d’après le n.^o 5 devient

(26)$y=x\left(\psi \operatorname {f} \alpha +\operatorname {D} .\psi \operatorname {f} \alpha .x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\psi \operatorname {f} \alpha .x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\psi \operatorname {f} \alpha .x^{3}+\ldots \right)$

il faudrait faire, dans le développement du dernier membre de l’équation (24),

(27)$a_{1}=\psi \operatorname {f} \alpha ,a_{2}=\operatorname {D} .\psi \operatorname {f} \alpha ,a_{3}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\psi \operatorname {f} \alpha ,a_{4}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\psi \operatorname {f} \alpha ,\ldots \,;$

mais, conformément aux principes des n.^os 5 et 6, ces dernières dérivées doivent être survies d’un point, et développées d’après le n.^o 7.

20. Si l’on avait à développer, selon les puissances de $x$ ; la fonction $\phi [a+x),\ z$ étant donné par l’équation