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CALCUL

(28)$\qquad z=x\psi (\beta +y),$

et $y$ par l’équation (22) ; on aurait

(29)$\phi (a+z)=\phi \left[a+x\psi (\beta +y)\right]=\phi \left\{a+x\psi \left[\beta +x\operatorname {f} (\alpha +x)\right]\right\}$

$=\phi \left\{a+x\psi \left(\beta +\operatorname {f} \alpha .x+\operatorname {D} \operatorname {f} \alpha .x^{2}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\operatorname {f} \alpha .x^{3}+\ldots \right)\right\}$

$=\phi a+\operatorname {D} .\phi a.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a+\ldots \,;$

mais ici, dans le développement des dérivées du dernier membre, il faudrait remplacer $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ par $\psi \beta ,\operatorname {D} .w\beta ,{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\psi \beta ,\ldots ,$ en observant de mettre, dans le développement de ces dernières dérivées, $\operatorname {f} \alpha$ à la place de $\operatorname {D} \beta ,$ $\operatorname {D} \operatorname {f} \alpha$ à la place de ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\beta ,$ ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\operatorname {f} \alpha$ à la place de ${\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\beta \,;$ et ainsi de suite.

On pourrait aisément pousser plus loin ces substitutions de fonctions dans les fonctions, ou de séries dans les séries ; et l’on voit que le principe de leur développement par les dérivations est simple et uniforme : il ne reste que la complication des résultats, qui est inhérente à la chose même.

Article II.

Développement des fonctions selon les puissances d’une
fonction quelconque de la variable, ou retour des
fonctions et des séries.

21. Depuis le n.^o 18 de l’article précédent, nous nous sommes occupés de la question suivante : le développement d’une fonction quelconque, selon les puissances d’une fonction donnée de la variable principale, étant supposé connu ; en déduire le développement selon les puissances de la variable principale ? Dans cet article, nous allons résoudre la question inverse, savoir : le développement d’une fonction quelconque, selon les puissances de la variable principale, étant donné, ainsi que la relation entre celle variable et une autre fonction ; en déduire le développement selon, les puis-