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CALCUL

mais ici il faut observer que la manière dont nous sommes parvenus à ces relations suppose que $a_{1}$ est un second terme de polynôme, c’est-à-dire que, d’après le n.^o 1, on a

$a_{1}=\operatorname {D} a,\qquad a_{2}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}a,\qquad a_{3}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}a,\ldots a_{n}={\tfrac {1}{1.2\ldots n}}\operatorname {D} ^{n}a\,;$

et par conséquent

$\operatorname {D} a_{1}=\operatorname {D} ^{2}a=2a_{2},\qquad \operatorname {D} ^{2}a_{1}=\operatorname {D} ^{3}a=6a_{3},\ldots$

$\operatorname {D} ^{n-1}a_{1}=\operatorname {D} ^{n}a=1.2\ldots n.a_{n}\,;$

ainsi, dans le développement des seconds membres des équations (34), il faudra substituer pour les dérivées de $a_{1}$ leurs valeurs précédentes.

Mais si, conformément au n.^o 18, on veut considérer $a_{1}$ comme premier terme de polynôme, on a

$a_{2}=\operatorname {D} a_{1},\ a_{3}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}a_{1},\ a_{4}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}a_{1},\ldots a_{n}={\tfrac {1}{1.2\ldots n}}\operatorname {D} ^{n-1}a_{1}\,:$

en substituant ces valeurs dans les développemens des équations (34), ce qui revient à y écrire $2\operatorname {D} a_{1}$ pour $\operatorname {D} a_{1},\ 3\operatorname {D} ^{2}a_{1}$ pour $\operatorname {D} ^{2}a_{1},\ 4\operatorname {D} ^{3}a_{1}$ pour $\operatorname {D} ^{3}a_{1},\ n\operatorname {D} ^{n-1}a_{1}$ pour $\operatorname {D} ^{n-1}a_{1},$ on pourra mettre ces équations sous la forme suivante ;

(35)$\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {D} \phi a=a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\phi a,\\&\operatorname {D} ^{2}\phi a=\operatorname {D} .\left(a_{1}^{-2}\operatorname {D} .\phi a\right),\\&\operatorname {D} ^{3}\phi a=\operatorname {D} ^{2}.\left(a_{1}^{-3}\operatorname {D} .\phi a\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\operatorname {D} ^{n}\phi a=\operatorname {D} ^{n-1}.\left(a_{1}^{-n}\operatorname {D} .\phi a\right),\\\end{aligned}}\right.$

En substituant ces valeurs dans les équations (33), et remplaçant $\phi a$ par $A,$ ou obtient enfin

(36)$\left\{{\begin{aligned}&B=A,\\&B_{1}=a_{1}^{-1}\operatorname {D} .A,\\&B_{2}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} .\left(a_{1}^{-2}\operatorname {D} .A\right),\\&B_{3}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{2}.\left(a_{1}^{-3}\operatorname {D} .A\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&B_{n}={\tfrac {1}{1.2\ldots n}}\operatorname {D} ^{n-1}.\left(a_{1}^{-n}\operatorname {D} .A\right)\,;\\\end{aligned}}\right.$