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DES DÉRIVATIONS.

où, d’après l’observation du n.^o 18, et d’après l’observation précédente, $a_{1}$ doit être considéré comme un premier terme de polynôme.

23. Si l’on fait attention que l’équation (20) peut être mise sous la forme (22), et que le polynôme (30), d’après le n.^o 3, peut représenter une fonction quelconque $\phi (b+x)$ ; le problème du n.^o précédent fournit la solution de la question suivante : étant donnée la relation $y=x\operatorname {f} (\alpha +x),$ développer la fonction quelconque, $\phi (b+x)$ suivant les puissances de $y.$

D’après cela, si l’on substitue, dans le polynôme (31), les valeurs (36), et dans celle-ci pour $A$ et $a_{1}$ leurs valeurs $\phi b$ et $\operatorname {f} \alpha ,$ on aura

(37)$\qquad \phi (b+x)=B+B_{1}y+B_{2}y^{2}+B_{3}y^{3}+\ldots$

$=\phi b+(\operatorname {f} \alpha )^{-1}\operatorname {D} .\phi by+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} .\left\{(\operatorname {f} \alpha )^{-2}\operatorname {D} .\phi b\right\}y^{2}$

$+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{2}.\left\{(\operatorname {f} \alpha )^{-3}\operatorname {D} .\phi b\right\}y^{3}+\ldots$

où l’on peut supprimer, si l’on veut, les points qui suivent les signes de dérivation qui affectent $\phi b$ ; car, dans le binôme $b+x,$ on a $\operatorname {D} .b=1\,;$ et par conséquent $\operatorname {D} .\phi b=\operatorname {D} \phi b.$

On aurait de même, dans la même hypothèse,

(38)$\ \phi (b+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}+\ldots )=B+B_{1}y+B_{2}y^{2}+B_{3}y^{3}+\ldots$

$=\phi b+(\operatorname {f} \alpha )^{-1}\operatorname {D} .\phi b.y+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} .\left\{(\operatorname {f} \alpha )^{-2}\operatorname {D} .\phi b\right\}y^{2}$

$+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{2}.\left\{(\operatorname {f} \alpha )^{-3}\operatorname {D} .\phi b\right\}y^{3}+\ldots$

mais ici les points, après tous les signes de dérivation, sont indispensables, car on a $\operatorname {D} b=b_{1},\ \operatorname {D} ^{2}b=2b_{2},\ \operatorname {D} ^{3}b=6b_{3},\ldots ,$ et par conséquent $\operatorname {D} .\phi b=\operatorname {D} \phi b.b_{1},\ldots$

On aurait encore, de la même manière, et pour la même valeur de $y,$

(39)$\quad \psi \phi (b+x)=\psi \phi b+(\operatorname {f} \alpha )^{-1}\operatorname {D} .\psi \phi b.y+{\tfrac {1}{2}}\left\{(\operatorname {f} \alpha )^{-2}\operatorname {D} .\psi \phi b\right\}y^{2}$

$+{\tfrac {1}{6}}\left\{(\operatorname {f} \alpha )^{-3}\operatorname {D} .\psi \phi b\right\}y^{3}+\ldots ,$

où les points, après les signes de dérivation sont encore nécessaires : parce qu’on a $\operatorname {D} .\psi \phi b=\operatorname {D} \psi \phi b.\operatorname {D} \phi b.$

24. Si, dans la question du n.^o  précédent, la valeur de $y$ était donnée par l’équation (25)

$y=x\psi \operatorname {f} (\alpha +x),$