Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/96

90

CALCUL

$\left\{{\begin{aligned}&{\begin{aligned}&5B_{5}=\operatorname {D} \phi b\\\\\\\\\\\\\end{aligned}}\left|{\begin{aligned}&c^{-5}.b_{5}\qquad \qquad +2{\tfrac {\operatorname {D} ^{2}\phi b}{2}}\\&-5c^{-6}\left(b_{1}c_{4}+b_{2}c_{3}+b_{3}c_{2}+b_{4}c_{1}\right)\\&+{\tfrac {5.6}{2}}c^{-7}\left(2b_{1}c_{1}c_{3}+b_{1}c_{2}^{2}+2b_{2}c_{1}c_{2}+b_{3}c_{1}^{2}\right)\\&-{\tfrac {5.6.7}{2.3}}.c^{-8}\left(3b_{1}c_{1}c_{3}+b_{2}c_{1}^{3}\right)\\&+{\tfrac {5.6.7.8}{2.3.4}}.c^{-9}.b_{1}c_{1}^{4}\\\end{aligned}}\right.\left|{\begin{aligned}&c^{-5}\left(2b_{1}b_{4}+2b_{2}b_{3}\right)\\&-5c^{-6}\left(b_{1}^{2}c_{3}+2b_{1}b_{2}c_{2}+2b_{1}b_{3}c_{1}+b_{2}^{2}c_{1}\right)\\&+{\tfrac {5.6}{2}}.c^{-7}\left(2b_{1}^{2}c_{1}c_{2}+2b_{1}b_{2}c_{1}^{2}\right)\\&-{\tfrac {5.6.7}{2.3}}.c^{-8}.b_{1}^{2}c_{1}^{3}\\\\\end{aligned}}\right.\\&{\begin{aligned}&+3{\tfrac {\operatorname {D} ^{3}\phi b}{6}}\\\\\\\end{aligned}}\left|{\begin{aligned}&c^{-5}\left(3b_{1}^{2}b_{3}+3b_{1}b_{2}^{2}\right)\qquad +4.{\tfrac {\operatorname {D} ^{4}\phi b}{24}}\\&-5c^{-6}\left(b_{1}^{3}c_{2}+3b_{1}^{2}b_{2}c_{1}\right)\\&+{\tfrac {5.6}{2}}c^{-7}.b_{1}^{3}c_{1}^{2}\\\end{aligned}}\right.\left|{\begin{aligned}&c^{-5}.4b_{1}^{3}b_{2}+5.{\tfrac {\operatorname {D} ^{5}\phi b}{120}}.c^{-5}.b_{1}^{5}\\&-5c^{-6}.b_{1}^{4}c_{1}\\\\\end{aligned}}\right.\end{aligned}}\right.$

et ainsi de suite.

L’examen de la composition successive des termes fournit encore une règle pratique, pour déduire un terme quelconque de celui qui le précède.

Règle.

28. Pour déduire le développement de $(n+1)\mathrm {B} _{n-1}$ de celui de $n\mathrm {B} _{n},$ celui-ci étant ordonné en colonnes, par rapport aux dérivées successives de $\phi b,$ les termes de chaque colonne, par rapport aux puissances de $c,$ et les quantités polynômiales d’après leur ordre de succession ;

1.^o On divisera tous les termes de $n\mathrm {B} _{n}$ par $n,$ on multipliera chacun par l’exposant de $c$ dans ce terme (abstraction faite du signe), et l’on augmentera cet exposant d’une unité (aussi abstraction faite de son signe) ;

2.^o On ne fera varier, dans chaque ferme de chaque colonne, que les coefficiens composés des quantités polynômiales $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,$ $c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ,$ d’après la règle du n.^o 8 ; en observant, pour