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DES DÉRIVATIONS.

ceux qui contiennent à la fois des $b$ et des $c,$ de ne faire varier d’abord que les $c,$ et ensuite les $b,$ mais dans le dernier terme seulement de chaque coefficient.

3.^o On fera varier de plus, mais dans le dernier terme seulement de chaque colonne, la puissance de $c$ ; et, comme la puissance de $c_{1}$ augmente alors d’une unité, on divisera par son exposant ainsi augmenté ;

4.^o Enfin, on fera varier $\phi b,$ dans le tout dernier terme seulement, en mettant $(n+1){\frac {\operatorname {D} ^{n+1}\phi b}{1.2\ldots (n+1)}}$ pour $n{\frac {\operatorname {D} ^{n}\phi b}{1.2\ldots n}},$ et augmentant la puissance de $b_{1}$ d’une unité.

Cette règle est analogue à celle du n.^o 15 : dans l’exécution, on n’a pas besoin de faire d’avance la préparation de la première partie ; elle peut se faire à mesure qu’on opère sur chaque terme.

29. Au moyen de la règle précédente, on peut écrire de suite les termes successifs du développement de l’équation (38) tout ordonnés et réduits à leur plus simple expression. Si l’on suppose $b_{1}=1,b_{2}=0,b_{3}=0,\ldots ,$ on aura le cas de l’équation (37) ; et il n’en résulte d’autre changement à la règle précédente qu’une simplification dans la seconde partie, parce qu’il n’y a plus que des quantités polynômiales d’une seule espèce ; ainsi, les formules (50) deviendront, pour ce cas (en remplaçant les colonnes par des parenthèses),

${\begin{aligned}&\ \ B=\ \phi b\\&1B_{1}=\operatorname {D} \phi b.c^{-1}\\&2B_{2}=\operatorname {D} \phi b\left(-2c^{-3}.c_{1}\right)+2{\frac {\operatorname {D} ^{2}\phi b}{2}}.c^{-2}\\&3B_{3}=\operatorname {D} \phi b\left(-3c^{-4}.c_{2}+{\frac {3.4}{2}}.c^{-5}.c_{1}^{2}\right)+2{\frac {\operatorname {D} ^{2}\phi b}{2}}\left(-3c^{-4}.c_{1}\right)+3{\frac {\operatorname {D} ^{3}\phi b}{6}}.c^{-5},\\&4B_{4}=\operatorname {D} \phi b\left(-4c^{-5}.c_{3}+{\frac {4.5}{2}}.c^{-6}.2c_{1}c_{2}-{\frac {4.5.6}{6}}.c^{-7}.c_{1}^{3}\right)+2{\frac {\operatorname {D} ^{2}\phi b}{2}}\left(-4c^{-5}.c_{2}+{\frac {4.5}{2}}.c^{-6}.c_{1}^{2}\right)\\&+3{\frac {\operatorname {D} ^{3}\phi b}{6}}\left(-4c^{-5}.c_{1}\right)+4.{\frac {\operatorname {D} ^{4}\phi b}{24}}.c^{-4},\\\end{aligned}}$