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MOUVEMENT

$xy'-yx'={\sqrt {(1+\varepsilon )\mu p}}\,;\qquad$(15)

d’où, par une nouvelle différentiation,

$xy''-yx''=0.\qquad$(16)

Présentement, l’élimination de $r',$ entre les équations (6, 8) donne

$(x+\varepsilon r\operatorname {Cos} .l)x'+(y+\varepsilon r\operatorname {Sin} .l)y'=0\,;\qquad$(17)

équation qui, combinée avec (15), donne, en ayant égard aux équations (3 et 5),

$\left.{\begin{aligned}x'&=-{\frac {1}{r}}(y+\varepsilon r\operatorname {Sin} .l){\sqrt {\tfrac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}}=-(\operatorname {Sin} .\alpha +\varepsilon \operatorname {Sin} .l){\sqrt {\tfrac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}},\\y'&=+{\frac {1}{r}}(x+\varepsilon r\operatorname {Cos} .l){\sqrt {\tfrac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}}=+(\operatorname {Cos} .\alpha +\varepsilon \operatorname {Cos} .l){\sqrt {\tfrac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}}\,;\\\end{aligned}}\right\}(18)$

et ensuite, par la substitution dans (6)

$r'={\frac {1}{r}}(y\operatorname {Cos} .l-x\operatorname {Sin} .l){\sqrt {\tfrac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}}=\varepsilon {\sqrt {\tfrac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}}.\operatorname {Sin} .(\alpha -l).\qquad$(19)

On tire encore des équations (18), en ayant égard à l’équation (5)

$x'^{2}+y'^{2}={\frac {\mu }{p}}.{\frac {2p-(1-\varepsilon )r}{r}}\,;\qquad$(20)

et l’équation (19) donne, en ayant toujours égard à la même équation (5),

$r'^{2}={\frac {\mu }{p}}.\left\{{\frac {2p-(1-\varepsilon )r}{r}}-{\frac {(1+\varepsilon )p^{2}}{r^{2}}}\right\}\,;\qquad$(21)

donc

$x'^{2}+y'^{2}-r'^{2}={\frac {\mu }{p}}.{\frac {(1+\varepsilon )p^{2}}{r^{2}}}={\frac {\mu }{r}}.{\frac {(1+\varepsilon )p}{r}}.\qquad$(22)

Au moyen de cette dernière formule, l’équation (7) devient

$xx''+yy''=rr''-{\frac {(1+\varepsilon )\mu p}{r^{2}}}\,;\qquad$(23)

ou encore, en éliminant $r'',$ au moyen de l’équation (9),