Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1816-1817, Tome 7.djvu/9

5

DES ASTRES.

$\varepsilon (r\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .l+r\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .l)=(1+\varepsilon )p-r.\qquad$(2)

Mais, si $x$ et $y$ sont les coordonnées de l’extrémité du rayon vecteur, on aura

$x=r\operatorname {Cos} .\alpha ,\qquad y=r\operatorname {Sin} .\alpha ,\qquad \qquad \qquad$(3)

d’où

$x^{2}+y^{2}=r^{2}\,;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(4)

au moyen de quoi l’équation (2) deviendra

$\varepsilon (x\operatorname {Cos} .l+y\operatorname {Sin} .l)=(1+\varepsilon )p-r.\qquad \qquad$(5)

En prenant le temps pour variable indépendante, et différentiant deux fois sous ce point de vue les équations (4, 5), il vient

$xx'+yy'=rr',\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(6)

$x'^{2}+y'^{2}+xx''+yy''=r'^{2}+rr'',\qquad \qquad$(7)

$\varepsilon (x'\operatorname {Cos} .l+y'\operatorname {Sin} .l)=-r',\qquad \qquad \qquad$(8)

$\varepsilon (x''\operatorname {Cos} .l+y''\operatorname {Sin} .l)=-r''.\qquad \qquad \qquad$(9)

D’un autre côté, la différentiation des équations (3) donne

$x'=r'\operatorname {Cos} .\alpha -r\alpha '\operatorname {Sin} .\alpha ,\qquad y'=r'\operatorname {Sin} .\alpha +r\alpha '\operatorname {Cos} .\alpha \,;$ (10)

d’où on conclut (3, 10)

$xy'-yx'=r^{2}\alpha '=2s',\qquad \qquad \qquad$(11)

$s$ étant l’aire décrite par le rayon vecteur. Mais nous avons (§. I.)

${\frac {s}{t{\sqrt {2(1+\varepsilon )p}}}}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\mu }}\,;\qquad \qquad \qquad$(12)

d’où

$2s=t{\sqrt {(1+\varepsilon )\mu p}}\,;\qquad \qquad \qquad \qquad$(13)

donc, en différentiant,

$2s'={\sqrt {(1+\varepsilon )\mu p}}\,;\qquad \qquad \qquad \qquad$(14)

et par conséquent