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D’INTÉGRATION.

valeur qui n’est en défaut qu’au 16.^me  chiffre, tandis que M. Kramp n’a pu en trouver que 12 d’exacts, par une combinaison laborieuse de plusieurs de ses formules.

Dans ce 2.^me exemple, nous n’avons trouvé que 15 chiffres exacts ; tandis que, dans le 1.^er, nous en avions obtenu 17 et presque 18. La raison de cette différence est qu’ici la courbe $y={\frac {1}{1+x^{2}}}.$ à quarrer a une inflexion, au point dont les coordonnées sont $x={\frac {1}{\sqrt {3}}},y={\frac {3}{4}},$ cette circonstance donne lieu à une anomalie qui altère le résultat ; Pour éviter cette source d’erreur, il aurait fallu quarrer séparément la courbe d’abord entre les limites $x=0$ et $x={\frac {1}{\sqrt {3}}},$ et ensuite entre les limites $x={\frac {1}{\sqrt {3}}},$ et $x=1,$ et prendre la somme des résultats ; mais nous n’avions ici en vue que de comparer l’emploi de notre formule 24 avec le résultat obtenu par M. Kramp^[1].

Ce géomètre, pour n’avoir point fait attention au point d’inflexion, a tiré de ses résultats des conséquences tout-à-fait fausses. En effet, sa formule n.^o 8 lui a donné plus d’exactitude que ses formules n.^o 9 et n.^o 10 ; ce qui, au premier abord, présente un vrai paradoxe. Mais il faut remarquer que, par l’emploi de la formule n.^o 8, il a pu s’opérer, entre les aires des deux branches de la courbe, une compensation d’erreurs qui a pu ne point avoir lieu d’une manière aussi avantageuse dans l’application des formules n.^o 9 et n.^o 10. Au reste, dans la courbe même $y={\frac {1}{x}},$ qui n’a pas d’inflexion, les résultats successivement obtenus par les diverses

1. On approcherait, au surplus, bien davantage de la valeur de $\varpi ,$ en prenant pour $x$ la tangente d’un très-petit arc, sous-multiple de 30°, et appliquant ensuite la formule $(\mathrm {F} _{24}).$
   (Note de M. Bérard).