au même contour, on obtiendrait une aire totale moindre que la première, qui conséquemment ne saurait être un minimum.
« Donc la surface minimum, entre des limites données, doit être telle qu’il soit impossible de tracer sur elle aucune figure plane fermée ; ou, ce qui revient au même, d’en détacher aucune portion, limitée dans tous les sens, par une section plane.
« Or, comme c’est là ce qui arriverait infailliblement, si la surface avait, du moins dans quelques points, ses deux courbures dirigées dans le même sens, il en faut conclure que la surface minimum, entre des limites données, doit avoir, dans toute son étendue, ses deux courbures de signes contraires » ; et c’est précisément ce qu’apprend l’analise.
Mais poussons plus loin. Par un point quelconque de cette surface, menons-lui, dans une direction quelconque, deux tangentes perpendiculaires l’une à l’autre ; et considérons les fibres de cette surface, supposée élastique, dont la direction est la même que celle de ces deux tangentes. Ces fibres seront courbées en sens inverse, et ne le seront que par contrainte, à raison de leur élasticité ; chacune d’elles fera donc effort pour se redresser, et conséquemment pour augmenter la courbure de l’autre, et, puisqu’elles se font équilibre, les deux efforts inverses devront être égaux. Mais ils sont évidemment proportionnels aux rayons de courbure des courbes qu’affectent respectivement les deux fibres, au point où elles se coupent ; donc ces deux rayons de courbure doivent être égaux.
Or, si l’on suppose que les deux tangentes dont il s’agit soient, pour chaque point, dirigées suivant les deux courbures de la surface ; les deux rayons de courbure dont il est question ici deviendront les rayons de courbure même de cette surface.
Il résulte donc de ce qui précède que, non seulement la surface minimum doit avoir, en tous ses points, ses deux courbures principales de signes contraires, mais que de plus ces courbures doivent être égales. Nous ne prétendons point, au surplus, donner ce raisonnement pour une démonstration proprement dite ; mais on voit
