cependant qu’il en renferme le germe, et qu’il suffit du moins pour faire pressentir les résultats d’une analise plus rigoureuse ; ce qui est, dans bien des cas, d’un très-précieux avantage.
Loin donc qu’il soit paradoxal de dire que la surface dont les deux rayons de courbure sont, en chacun de ses points, égaux et de signes contraires, soit en même temps celle dont l’aire est un minimum ; loin que l’on conçoive possible de prouver qu’elle ne l’est pas, il nous semble, au contraire, qu’il est peu de propositions aussi faciles à deviner ; parce qu’il en est peu, en effet, qui soient aussi exactement conformes aux indications du simple bon sens.
Mais, dira-t-on encore, en accordant, si l’on veut qu’il soit impossible de tracer, sur la surface minimum, une figure plane exactement fermée, du moins sera-t-il toujours possible de la couper par un plan, de manière à obtenir, pour ses intersections avec lui, deux courbes distinctes, telles que seraient, par exemple, deux hyperboles opposées ; et si, entre ces deux courbes, on substitue le plan à la portion correspondante de la surface prétendue minimum, on obtiendra un total moindre que cette surface, qui conséquemment ne saurait jouir réellement de la propriété qu’on lui attribue.
Ce raisonnement pourrait être bon, s’il s’agissait d’une surface qui dût jouir indéfiniment de la propriété du minimum ; et, dans ce cas, la surface demandée ne saurait être qu’un plan ; mais il s’agit d’une surface qui jouisse de cette propriété parmi toutes celles qui ont des limites fixes données, c’est-à-dire, parmi toutes celles qui se terminent au même contour. Or, lorsque deux surfaces sont simplement assujetties à passer par deux courbes données, isolées l’une de l’autre, et que ces deux surfaces ne se confondent pas, il est impossible de les comparer sous le rapport de leurs aires ; puisqu’elles sont indéfinies l’une et l’autre, et ne se terminent point au même contour.
Ces difficultés ainsi éclaircies, venons à la solution de la question proposée.
