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DES CALCULS.

le produit de deux facteurs, mais même le produit de tant de facteurs qu’on voudra.

I. On a, par les premières règles de l’algèbre,

$4ab=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}\,;$^[1]

ce qui veut dire, en français, que, si du quarré de la somme de deux nombres on retranche le quarré de leur différence, on obtiendra pour reste, le quadruple de leur produit.

Il suit de là que, si l’on avait une table suffisamment étendue des quarrés de tous les nombres de la suite naturelle, on pourrait, par son moyen, obtenir exactement le produit de deux nombres qui n’excéderait pas ses limites, sans avoir autre chose à faire qu’une addition, deux soustractions et une division par $4.$

Exemple. On propose de trouver le produit de $531$ par $479$ ?

$\mathrm {Facteurs\ donn{\acute {e}}s} \quad \left\{{\begin{aligned}531&\\{\underline {479}}&\\\end{aligned}}\right.$

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {Somme} \;\ \ldots 1010&\\\mathrm {Diff{\acute {e}}rence} \ldots 52&\\\end{aligned}}\right\}\ \mathrm {quarr{\acute {e}}s} \ \,\left\{{\begin{aligned}1020100&\\{\underline {\quad 2704}}&\\\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {Diff{\acute {e}}rence\ des\ quarr{\acute {e}}s} \ldots \quad 1017396$

$\mathrm {Quart\ de\ cette\ diff{\acute {e}}rence,\ ou\ produit} \ldots \ 254349.$

Or, il existe une semblable table : elle a été publiée chez F. Didot, en 1801, sous le nom de C. Seguin l’aîné, mais dans toute autre

1. Si, dans cette équation, on change $a$ en $1$ et $b$ en $A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}+\ldots \,;$ elle deviendra, en renversant,
   $\left(1+A^{2}+B^{2}+C^{2}+\ldots \right)^{2}-\left(1-A^{2}-B^{2}-C^{2}-\ldots \right)^{2}$
   $=(2A)^{2}+(2B)^{2}+(2C)^{2}+\ldots$

   Cette remarque est due à M. Frégier, ancien élève de l’école polytechnique.