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ABRÉVIATION

III. On peut pousser plus loin encore, et, si l’on veut déterminer immédiatement le produit de quatre facteurs : on aura pour cela la formule

${\begin{array}{rl}192abcd&=(a+b+c+d)^{4}-(a+b+c-d)^{4}\\&+\;(a+b-c-d)^{4}-(b+c+d-a)^{4}\\&+\;(a+c-b-d)^{4}-(c+d+a-b)^{4}\\&+\;(b+c-a-d)^{4}-(d+a+b-c)^{4}\\\end{array}}$

Il faudrait donc ici une table des quatrièmes puissances des nombres naturels ; mais, comme ces puissances sont des quarrés de quarrés, la table de M. Séguin suffira encore.

Si l’on avait une table des cinquièmes puissances des nombre naturels, on pourrait également en déduire immédiatement le produit de cinq facteurs ; on aurait pour cela la formule

${\begin{array}{rl}1920abcde&=(a+b+c+d+e)^{5}-(b+c+d+e-a)^{5}\\&+\;(a+b+c-d-e)^{5}-(c+d+e+a-b)^{5}\\&+\;(a+b+d-c-e)^{5}-(d+e+a+b-c)^{5}\\&+\;(a+c+d-b-e)^{5}-(e+a+b+c-d)^{5}\\&+\;(b+c+d-a-e)^{5}-(a+b+c+d-e)^{5}\\&+\;(a+b+e-c-d)^{5}\\&+\;(a+c+e-b-d)^{5}\\&+\;(b+c+e-a-d)^{5}\\&+\;(a+d+e-b-c)^{5}\\&+\;(b+d+e-a-c)^{5}\\&+\;(c+d+e-a-b)^{5}\\\end{array}}$