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DES ASTRES.

d’où on conclut, par la différentiation,

$r'=\varepsilon p\phi '.{\frac {(1+\varepsilon )\operatorname {Sin} .\phi }{(1+\varepsilon \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}}\,;\qquad$(59)

mais nous avons (19), en faisant, comme ici, $l=0,$

$r'=\varepsilon \operatorname {Sin} .\phi .{\sqrt {\frac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}}\,;\qquad$(60)

il viendra donc, en égalant ces deux valeurs,

$\phi '=(1+\varepsilon \operatorname {Cos} .\phi )^{2}{\sqrt {\frac {\mu }{(1+\varepsilon )^{3}p^{2}}}}.\qquad$(61)

Cette équation peut s’intégrer de plusieurs manières ; mais, pour que son intégrale se présente sous une forme réelle, il faut varier les procédés, suivant qu’on a $\varepsilon <1,\ \varepsilon =1,\ \varepsilon >1.$

1.^o  Dans le cas de $\varepsilon <1,$ qui est celui de l’ellipse, en posant d’abord

${\sqrt {\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}}.\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\phi =\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\psi ,\qquad$(62)

on a

$T=t-{\sqrt {\frac {p^{3}}{(1-\varepsilon )^{3}\mu }}}.(\psi -\varepsilon \operatorname {Sin} .\psi ),\qquad$(63)

et la constante $T$ est l’époque du périhélie, puisque c’est ce que devient $t$ lorsque $\phi$ est nul.

2.^o  Dans le cas de $\varepsilon =1,$ qui est celui de la parabole, on a immédiatement

$T=t-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2p^{3}}{\mu }}}\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\phi .\left(3+\operatorname {Tang} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\phi \right)\,;\qquad$(64)