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MOUVEMENT

Désignant ensuite l’excentricité par $E,$ et le rapport de l’excentricité au demi-grand axe par $\varepsilon ,$ on aura

$E=a-p={\frac {GH}{\mu ^{2}-H^{2}}},\quad \varepsilon ={\frac {E}{a}}={\frac {H}{\mu }}.\qquad$(55)

La trajectoire sera donc une hyperbole, une parabole ou une ellipse, suivant qu’on aura $H>\mu ,\ H=\mu$ ou $H<\mu .$ En particulier, elle sera un cercle, si l’on a $H=0$ ; ce qui emporte $D=0,E=0,$ $F=0,$ et donne $a={\frac {G}{\mu }}.$ Quant au paramètre, en le désignant par $\Pi ,$ on aura

$\Pi =2(1+\varepsilon )p={\frac {2G}{\mu }}.\qquad$(56)

Nous avons donc déterminé tout ce qui, dans les élément de l’orbite, est indépendant du temps, et il ne nous reste plus qu’à fixer l’époque du périhélie. Pour y parvenir, remarquons d’abord qu’à l’époque, le rayon vecteur, fait avec les axes des angles dont les cosinus sont

${\frac {x}{r}},\quad {\frac {y}{r}},\quad {\frac {z}{r}}\,;$

mais la ligne des apsides fait avec les mêmes axes des angles dont les cosinus sont

${\frac {D}{H}},\quad {\frac {E}{H}},\quad {\frac {F}{H}}\,;$

d’où il suit qu’en désignant par $\phi$ l’anomalie vraie, on aura

$\operatorname {Cos} .\phi ={\frac {Dx+Ey+Fz}{Hr}}.\qquad$(57)

Les quantités $\varepsilon ,p$ et $\phi$ étant ainsi déterminées, on a, par les théories connues,

$r={\frac {(1+\varepsilon )p}{\alpha +\varepsilon \operatorname {Cos} .\phi }},\qquad$(58)