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RÉSOLUES.

la droite $\mathrm {M''N''}$ passe donc aussi alors par l’origine ; elle concourt donc au même point avec les deux autres^[1].

1. Des droites comprises dans un même plan notant qu’un cas particulier d’un système de droites situées d’une manière quelconque dans l’espace, et des droites parallèles, soit sur un plan soit dans l’espace, n’étant également qu’un cas particulier d’un système de droites concourant en un point ; il s’ensuit que le premier de nos deux théorèmes n’est qu’un cas très-particulier du suivant :

   THÉORÈME. Soient $\mathrm {AB,A'B',A''B''} ,$ trois droites situées dans l’espaee d’une manière quelconque, en sorte néanmoins que leurs directions concourent en un même point. Si $\mathrm {C}$ est le point de concours de $\mathrm {A'A''}$ et $\mathrm {BB'} \,;$ que $\mathrm {C}$ soit le point de concours de $\mathrm {A''A}$ et $\mathrm {B''B} \,;$ et qu’enfin $\mathrm {C''}$ soit le point de concours de $\mathrm {AA'}$ et $\mathrm {BB'} \,;$ les trois points $\mathrm {C,C',C''}$ seront situés sur une même ligne droite.

   La vérité de ce théorème s’aperçoit immédiatement en remarquant que $\mathrm {AB,A'B',A''B''}$ peuvent être considérés comme les arêtes latérales d’un tronc de pyramide triangulaire, dont alors les deux bases sont $\mathrm {AA'A'',BB'B''} \,;$ et que, les points $\mathrm {C,C',C''}$ étant ceux où concourent les côtés correspondans de ces deux bases, ces points doivent se trouver sur la commune section de leurs plans, et par conséquent en ligne droite.

   Mais on peut aussi supposer que les deux bases $\mathrm {AA'A'',BB'B''}$ se coupent, entre les arêtes latérales donc, si $\mathrm {D}$ est le point de concours de $\mathrm {A'B''}$ et $\mathrm {A''B''} ,$ que $\mathrm {D'}$ soit celui de $\mathrm {A''B}$ et $\mathrm {AB''} ,$ et enfin $\mathrm {D''}$ celui de $\mathrm {AB'}$ et $\mathrm {A'B} \,;\ \mathrm {D'}$ et $\mathrm {D''}$ seront en ligne droite avec $\mathrm {C} ,\ \mathrm {D''}$ et $\mathrm {D}$ avec $\mathrm {C'} ,$ et $\mathrm {D,D'}$avec $\mathrm {C''} ,$ de sorte que les six points $\mathrm {C,C',C'',D,D',D''}$ seront sur quatre droites, et conséquemment dans un même plan.

   Soient présentement quatre droites $\mathrm {AB,A'B',A''B'',A'''B'''} ,$ concourant en un même point dans l’espace ; en combinant ces quatre droites deux à deux comme nous l’avons fait ci-dessus ; c’est-à-dire, en menant $\mathrm {AA'}$ et $\mathrm {BB',AA'',BB'',A'A''}$ et $\mathrm {B'B'',AA'''}$ et $\mathrm {BB''',A'A'''}$ et $\mathrm {B'B''',A''A'''}$ et $\mathrm {B''B'''} \,;$ on obtiendra six points de concours, lesquels, devant être situés sur quatre droites, seront conséquemment dans un même plan.

   En menant, au contraire, les droites $\mathrm {AB'}$ et $\mathrm {A'B,AB''}$ et $\mathrm {A''B,A'B''}$ et $\mathrm {A''B',AB'''}$ et $\mathrm {A'''B,A'B'''}$ et $\mathrm {A'''B',A''B'''}$ et $\mathrm {A'''B''}$, on obtiendra six nouveaux points qui seront deux à deux en ligne droite avec un des six premiers, ou trois à trois dans un même plan avec trois des six premiers ; de sorte que les douze