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LIEUX GÉOMÉTRIQUES.

$(am+a'm')x+(bm+b'm')y+(cm+c'm')=0,\qquad$(3)

équation qui, à cause de l’indétermination des multiplicateurs $m,m'$ est propre à représenter toutes les droites qui passent par l’intersection des deux premières droites (1).

Si donc on veut que ces trois droites se coupent en un même point, il devra être possible de disposer des indéterminées $m$ et $m'$ de manière à faire coïncider la troisième équation (1) avec l’équation (3). Cela donnera

$am+a'm'=a'',\quad bm+b'm'=b'',\quad cm+c'm'=c''\,;\quad$(4)

et, en éliminant $m$ et $m'$ entre ces trois équations, on retombera de nouveau sur l’équation (2).

PROBLÈME II. Trouver les conditions nécessaires pour que trois lignes du second ordre se coupent suivant les mêmes points ?

Solution. Soient les équations des lignes dont il s’agit ainsi qu’il suit :

$\left.{\begin{alignedat}{4}&a&x^{2}&+2b&xy&+c&y^{2}&+2d&x&+2e&y+f&=0.\\&a'&x^{2}&+2b'&xy&+c'&y^{2}&+2d'&x&+2e'&y+f'&=0.\\&a''&x^{2}&+2b''&xy&+c''&y^{2}&+2d''&x&+2e''&y+f''&=0.\end{alignedat}}\right\}\quad$(1)

Soit prise la somme des produits des deux premières équations par deux multiplicateurs indéterminés $m$ et $m'$ ; on aura ainsi

${\begin{aligned}&(am+a'm')x^{2}+2(bm+b'm')xy+(cm+c'm')y^{2}\\+2&(dm+d'm')x+2(em+e'm')y+(fm+f'm')=0\,;\\\end{aligned}}$

équation qui, dans sa généralité, représente toutes les lignes du second ordre qui passent par les intersections des deux premières lignes (1).

Remarquons, avant d’aller plus loin, que cette équation pourrait