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GÉOMÉTRIQUES.

il faudra exprimer que la quatrième est la somme des produits des trois autres par les multiplicateurs indéterminés $m,m',m''$ ce qui donnera les dix équations

$\left.{\begin{alignedat}{2}am+a'm'+a''m''&=a''',\quad &fm+f'm'+f''m''&=f''',\\bm+b'\,m'+b''m''&=b''',&gm+g'\,m'+g''m''&=g''',\\cm+c'\,m'+c''m''&=c''',&hm+h'm'+h''m''&=h''',\\dm+d'm'+d''m''&=d''',&km+k'm'+k''m''&=k''',\\em+e'm'+e''m''&=e''',&l\,m+l'\,m'+l''\ m''&=l'''\,;\end{alignedat}}\right\}\quad$(2)

entre lesquelles éliminant $m,m',m'',$ on parviendra aux conditions cherchées, lesquelles seront conséquemment au nombre de sept.

Les première, quatrième et cinquième équations de la première colonne, jointes à la seconde de la deuxième prouvent (Problème IV) que les quatre plans dont les équations sont

$\left.{\begin{alignedat}{1}a\ \ x+d\,\ \ y+e\ \ \ z+g\,\ \ &=0,\\a'\ x+d'\,\ y+e'\,\ z+g'\,\ &=0,\\a''\,x+d''\,y+e''\ z+g''\,&=0,\\a'''x+d'''y+e'''z+g'''&=0\,;\end{alignedat}}\right\}\quad$(1)

concourent tous en un même point ; mais ces plans sont (Annales, tom. VI, pag. 165) les plans diamétraux conjugués aux diamètres qui, dans nos quatre surfaces, se trouvent parallèles à l’axe des $x,$ c’est-à-dire à une droite quelconque ; on a donc le théorème que voici :