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LIEUX GÉOMÉTRIQUES.

THÉORÈME. Lorsque des surfaces du second ordre passent toutes par les neuf mêmes points donnés, leurs plans diamétraux conjugués à des diamètres parallèles concourent tous en un même point.

Par des procédés analogues à ceux que nous avons employés ci-dessus pour les lignes du second ordre, on parviendrait à déduire de ce théorème la solution du problème que voici : Étant donnés neuf points d’une surface du second ordre, déterminer son centre ?

Si la quatrième des équations (1) appartenait à une sphère ; il faudrait qu’on eût

${\begin{array}{lll}am+a'm'+a''m''&=bm+b'm'+b''m''&=cm+c'm'+c''m''\,;\\dm+d'm'+d''m''&=em+e'm'+e''m''&=fm+f'm'+f''m''=0\,;\\\end{array}}$

ce qui donnerait, en éliminant ${\frac {m'}{m}}$ et ${\frac {m''}{m}},$ les trois conditions

${\begin{aligned}&(a-b)(d'e''-e'd'')+(a'-b')(d''e-e''d)+(a''-b'')(de'-ed')=0,\\&(a-c)(d'e''-e'd'')+(a'-c')(d''e-e''d)+(a''-c'')(de'-ed')=0,\\\end{aligned}}$

$de'f''-df'e''+fd'e''-ed'f''+ef'd''-fe'd''=0,$

qui expriment que les huit points d’intersection de trois surfaces du second ordre se trouvent situés sur une même sphère.