diamètres conjugués on construise une ellipse et que sur et pris aussi comme demi-diamètres conjugués, on construise une autre ellipse ces deux ellipses se trouveront ainsi comprises entre les deux parallèles à qui en seront des tangentes communes. De plus, d’après la construction et seront respectivement osculatrices de et en et [1]
- ↑ Ceci est fondé sur le théorème que voici :
THÉORÈME. Le rayon de courbure d’une ellipse, en un quelconque de ses points, est troisième proportionnel à la distance de ce point au diamètre parallèle à sa tangente, et à la moitié de ce diamètre.
Ce théorème, dont M. Dupin fait un grand usage dans ses Développemens de géométrie, se déduit fort simplement de la théorie qu’il y expose { voyez la page 29 de cet ouvrage). Il peut aussi se démontrer directement comme il suit.
On a vu (Annales, tom. VI, pag. 229) qu’en prenant respectivement pour axes des et des la tangente et la normale en un point quelconque d’une ligne du second ordre, l’équation de cette courbe était de la forme
(1)étant le rayon de courbure qui répond à l’origine.
Il est connu d’ailleurs (Annales, tom. VI, pag. 160) que les dérivées de cette équation, prises successivement par rapport à et à sont les équations de deux diamètres, c’est-à-dire, de deux droites qui se coupent au centre de la courbe ; de sorte qu’en désignant par et les coordonnées de ce centre, on doit avoir
(2)d’où on tire
(3)Ces valeurs étant substituées dans l’équation (1), elle devient
(4)
