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D’INTÉGRATION.

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qu’altérer sensiblement l’exactitude du résultat. On verra ci-après comment M. Kramp, pour avoir négligé cette remarque, a été conduit à de fausses conséquences ; il a cru voir un paradoxe là où il n’en existe pas. Il est presque superflu d’observer qu’il faudrait à plus forte raison en user ainsi, si, entre les limites de l’intégrale, la courbe offrait un ou plusieurs points de rebroussement^[1] ».

11. Je conviens volontiers que je n’entends absolument rien à tous ces points d’inflexion et de rebroussement. J’avais dit d’ailleurs (tom. VI, pag. 299) : « Elle (l’équation de condition) est satisfaite, quoiqu’avec une différence presque insensible, lorsque la portion de courbe qui est comprise entre les limites de l’intégrale est sans asymptote, sans imaginaires, sans points d’inflexion ni de rebroussement ; lorsqu’enfin elle ne s’écarte pas trop de quelque courbe rentrante, telle que les ellipses des différens degrés ». Cependant M. Bérard y revient encore (pag. 110). « Ce géomètre, dit-il, pour n’avoir pas fait attention au point d’inflexion, a tiré de ses résultats des conséquences tout-à-fait fausses. En effet, sa formule n.^o 8 lui a donné plus d’exactitude que ses formules n.^o 9 et

↑ Il nous paraît qu’en remarquant un point d’inflexion, entre $x=0,x=1,$ dans la courbe dont l’équation est ${\frac {1}{1+x^{2}}},$ M. Bérard a donné, en effet, une raison très-plausible des anomalies que présente la série des erreurs des approximations successives de M. Kramp ; et nous pensons même que cette raison serait tout-à-fait péremptoire, dans le cas de l’emploi des trapèzes rectilignes ; mais nous ne saurions partager l’opinion de M. Bérard, sur la nécessité de diviser l’intégrale en plusieurs parties, lorsqu’il se rencontre quelques points d’inflexion entre ses limites. Tout ce qu’il peut résulter de l’existence de ces points, c’est qu’on obtienne accidentellement, par l’emploi de certaines formules, une approximation plus parfaite que celle que, généralement parlant, on serait en droit d’en attendre ; et certes, on conviendra qu’il n’y a pas là un très-grave inconvénient.
J. D. G.

[1] Il nous paraît qu’en remarquant un point d’inflexion, entre $x=0,x=1,$ dans la courbe dont l’équation est ${\frac {1}{1+x^{2}}},$ M. Bérard a donné, en effet, une raison très-plausible des anomalies que présente la série des erreurs des approximations successives de M. Kramp ; et nous pensons même que cette raison serait tout-à-fait péremptoire, dans le cas de l’emploi des trapèzes rectilignes ; mais nous ne saurions partager l’opinion de M. Bérard, sur la nécessité de diviser l’intégrale en plusieurs parties, lorsqu’il se rencontre quelques points d’inflexion entre ses limites. Tout ce qu’il peut résulter de l’existence de ces points, c’est qu’on obtienne accidentellement, par l’emploi de certaines formules, une approximation plus parfaite que celle que, généralement parlant, on serait en droit d’en attendre ; et certes, on conviendra qu’il n’y a pas là un très-grave inconvénient.
J. D. G.

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