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RÉSOLUTION

${\sqrt {-\left({\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}\right)}}=-{\frac {(b-c)\left[2(b+c)+bc\right]}{2.3}}\,;$

or, le premier membre de cette équation est réel ; donc le second l’est aussi ; mais le facteur $2(b+c)+bc$ est réel, puisque $b+c$ et $bc$ le sont ; donc l’autre facteur $b-c$ l’est de même ; et, puisque $b+c$ et $b-c$ sont réels, $b$ et $c$ le sont nécessairement ; donc enfin les trois racines $a,b,c$ sont réelles.

Je ne crois pas que la réalité des trois racines, dans le cas irréductible, ait jamais été si complètement ni si directement démontrée.

Résolution de l’équation du quatrième degré.

1. Nommant $a,b,c,d,$ les racines de la proposée $x^{4}+px^{2}$$+qx+r=0,$ on a, par la théorie générale des équations,

$a+b+c+d=0,$

$ab+ac+bc+ad+bd+cd=p,$

$abc+abd+acd+bcd=-q,$

$abcd=r\,;$

partant

${\frac {-2(a+b)^{2}-(a-b)^{2}-(c-d)^{2}}{2^{2}}}=p,$

${\frac {(a+b)(a-b)^{2}-(a+b)(c-d)^{2}}{2^{2}}}=-q,$

${\frac {\left[(a+b)^{2}-(a-b)^{2}\right]\left[(a+b)^{2}-(c-d)^{2}\right]}{2^{4}}}=r.$

En faisant

$a+b=y,\qquad a-b=z,\qquad c-d=z',$

ces équations deviennent