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CONT. DES LIG. DU 2.^d ORDRE, SUR LES SURF. DU MÊME ORD.

L’application de ces propositions est de la plus haute importance dans les arts graphiques ; elle donne la mesure de la quantité de courbure des lignes et des surfaces, dont on n’a déterminé, jusqu’à présent, que la direction, par les tangentes et les plans tangens.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Recherche de la ligne du second ordre qui en touche
trois autres données, sur une surface du même ordre^[1] ;

Par M. J. B. Durrande.

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Soient deux lignes du second ordre tangentes l’une à l’autre, sur une surface du même ordre, et soient considérées ces deux courbes comme les lignes de contact de la surface avec deux surfaces coniques circonscrites.

conque d’un hyperboloïde à une nappe, divisent en deux parties égales l’angle des deux droites de la surface, qui passent par le même point, se déduit très simplement de la formule d’Euler. En effet, $\varrho$ étant infini, pour les deux sections normales, on a

${\frac {1}{R}}\operatorname {Sin} .^{2}A+{\frac {1}{r}}\operatorname {Cos} .^{2}A=0\,;$

équation qui est satisfaite quel que soit le signe de $A$ ; donc cette équation appartient tout aussi bien à la section normale, dont le plan fait avec le plan de la ligne de courbure un angle égal à $A,$ qu’à la section dont le plan fait avec ce dernier un angle $-A,$ ou dont l’inclinaison sur ce dernier est la même que pour l’autre plan, mais qui est situé du côté opposé.

1. Cette question a déjà été traitée par M. Chasles, dans la Correspondante sur l’école polytechnique (tom. III, n.^o 1.^er, janvier 1814, pag. 16) ; mais, quelque ingénieuse que soit la solution de ce géomètre, elle n’ôte rien, comme on va le voir, au mérite de celle de M. Durrande.
   J. D. G.