plan touchera les deux surfaces réglées en deux points, remarquables par cette propriété, que leurs projections sur un plan quelconque, passant par la tangente à la courbe à double courbure, sont les centres de courbure des deux sections faites par ce plan sur les surfaces proposées. Menant, par le point de la courbe à double courbure que l’on considère, un plan perpendiculaire à la droite qui joint les deux points de contact des surfaces réglées et de plan normal à cette courbe, ce plan perpendiculaire sera le plan osculateur de la courbe, et il coupera la droite à laquelle il est perpendiculaire, en un point, qui sera le centre du cercle osculateur.
Il suit évidemment de la troisième proposition, que les cercles osculateurs de toutes les sections d’une surface, dont les plans passent par une même tangente, appartiennent à une sphère, proposition démontrée par Meusnier ; et, ce qui n’est pas moins évident, toutes les sections obliques dont les plans font, avec une normale à la surface, le même angle, ont un même rayon de courbure, lorsque les sections normales perpendiculaires aux sections obliques, ont même centre de courbure.
Ayant construit graphiquement les rayons de courbure de trois sections quelconques, passant par une même normale d’une surface, M. Hachette fait observer qu’on en déduirait facilement les rayons de courbure et les plans osculateurs des lignes de courbure, dont Monge a le premier donné les équations. En effet, on calculerait ces rayons de courbure, maximum et minimum, au moyen de la formule d’Euler
et étant les rayons de courbure de la surface, le rayon de courbure d’une section normale, dont le plan fait avec le plan osculateur de la ligne de courbure l’angle A[1]. (Voyez la Correspondance sur l’école polytechnique, tome III, page 134).
- ↑ M. Hachette observe à ce sujet que le théorème de M. Dupin, qui consiste en ce que les tangentes aux deux lignes de courbure, en un point quel-
