par ce qui a été dit plus haut, la ligne de contact avec la surface du second ordre sera tangente à la fois aux trois lignes du second ordre données sur cette surface. On a donc le théorème que voici :
THÉORÈME. La ligne du second ordre qui, sur une surface du même ordre, touche trois autres lignes du second ordre, données sur cette surface, n’est autre chose que la ligne de contact de la surface du second ordre avec la surface conique, circonscrite dont le sommet serait à l’intersection des trois surfaces coniques qui auraient pour lignes de contact avec la même surface du second ordre les trois lignes du même ordre données sur cette surface[1].
Chacune des trois surfaces coniques dont l’intersection doit déterminer le sommet de la quatrième ayant deux nappes ; il s’ensuit que huit lignes différentes du second ordre peuvent résoudre le problème dont il s’agit ici.
Du théorème qui vient d’être démontré on déduit le suivant, comme cas particulier :
THÉORÈME. Le cercle qui, sur une sphère, en touche trois autres donnés, n’est autre chose que la ligne de contact de la sphère avec le cône circonscrit qui aurait son sommet à l’intersection de trois autres cônes touchant cette sphère suivant les cercles donnés.
Si quelqu’une des données du problème était un grand cercle ou un point, le cône qui lui serait relatif se réduirait à un cylindre circonscrit ou à un plan tangent. Les dix problèmes qui peuvent naître de cette variété de données se trouvent donc tous résolus par ce qui précède.
- ↑ Il n’est point inutile de remarquer, comme moyen propre à simplifier
la construction que les trois surfaces coniques se coupent deux à deux suivant
une courbe plane, dont le plan passe par la commune section des plans de
leurs lignes, de contact. Cette proposition, ainsi qu’une autre, dont elle n’est
qu’un cas particulier, ont été démontrées par M. Chasles, dans l’ouvrage déjà
cité (Tome III, pag. 14 et 339).
J. D. G.
