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DE LA RÈGLE.

les sommets du triangle cherché ; de telle sorte que $\mathrm {P}$ soit sur $\mathrm {S'S'',\ P'}$ sur $\mathrm {S''S,}$ et $\mathrm {P''}$ sur $\mathrm {SS'.}$

Il est évident que, si l’un des sommets, le sommet $\mathrm {S}$ par exemple, était connu, le problème pourrait être réputé résolu ; car, en menant de ce point des droites par les points $\mathrm {P',P'',}$ leurs intersections avec la parabole détermineraient respectivement les deux autres sommets $\mathrm {S'',S'.}$ Occupons-nous donc uniquement de la recherche de ce point $\mathrm {S} .$

Soit $2p$ le paramètre de la parabole dont il s’agit. Soit pris son axe pour axe des $x$, et la tangente à son sommet pour axe des $y.$ Soient alors les coordonnées tant des points donnés $\mathrm {P,P',P''}$ que des points cherchas $\mathrm {S,S',S''}$, ainsi qu’il suit :

${\text{Pour P}}\left\{{\begin{aligned}&a,\\&b\,;\\\end{aligned}}\right.\quad {\text{Pour P'}}\left\{{\begin{aligned}&a',\\&b'\,;\\\end{aligned}}\right.\quad {\text{Pour P''}}\left\{{\begin{aligned}&a'',\\&b''\,;\\\end{aligned}}\right.$

${\text{Pour S}}\left\{{\begin{aligned}&x,\\&y\,;\\\end{aligned}}\right.\quad {\text{Pour S'}}\left\{{\begin{aligned}&x',\\&y'\,;\\\end{aligned}}\right.\quad {\text{Pour S''}}\left\{{\begin{aligned}&x'',\\&y''\,;\\\end{aligned}}\right.$

D’abord, puisque $\mathrm {S,S',S''}$ sont des points de la courbe, on doit avoir

$y^{2}=px,\quad y'^{2}=2px',\quad y''^{2}=2px''.\qquad$(1)

En second lieu, puisque chacun des points $P,P',P''$ est en ligne droite avec deux de ceux-là, on doit avoir

${\frac {x-x'}{y-y'}}={\frac {x-a''}{y-b''}},\quad {\frac {x'-x''}{y'-y''}}={\frac {x'-a}{y'-b}},\quad {\frac {x''-x}{y''-y}}={\frac {x''-a'}{y''-b'}},\quad$(2)

Voilà donc six équations, au moyen desquelles on peut déterminer