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GÉOMÉTRIE

les six coordonnées $xy,x'y',x''y''$ des trois points inconnus $\mathrm {S,S',S''}$ ; mais, comme nous bornons notre recherche à celle du point $\mathrm {S} ,$ il nous suffira d’éliminer $x',y',x'',y''$ entre les cinq dernières ; il en résultera une équation en $x$ et $y$ qui, jointe à la première, nous fera connaître les coordonnées du point cherché.

Mais on peut, par une combinaison convenable de ces six équations, en obtenir d’autres incomparablement plus simples, En retranchant, en effet, deux à deux, les équations (1), on obtient celles-ci

${\frac {x-x'}{y-y'}}={\frac {y+y'}{2p}},\quad {\frac {x'-x''}{y'-y''}}={\frac {y'+y''}{2p}},\quad {\frac {x''-x}{y''-y}}={\frac {y''+y}{2p}}.\quad$(3)

En comparant ces équations respectivement aux équations (2), on en déduit les suivantes

${\frac {y+y'}{2p}}={\frac {x-a''}{y-b''}},\quad {\frac {y'+y''}{2p}}={\frac {x'-a}{y'-b}},\quad {\frac {y''+y}{2p}}={\frac {x''-a'}{y''-b'}}.\quad$(4)

en chassant les dénominateurs dans ces dernières et en y remplaçant respectivement $2.px,2px',2px''$ par leurs valeurs $y^{2},y'^{2},y''^{2},$ données par les équations (1) elles deviendront enfin

$\left.{\begin{aligned}y\ y'\,-b''(y\ +y'\,)+2pa''=&0,\\y'y''-b\ (y'\,+y'')+2pa\ \ =&0,\\y''y\ -b'\,(y''+y\ )+2pa'\,=&0.\\\end{aligned}}\right\}(5)$

équations délivrées de $x,x',x''$ ; et entre lesquelles il n’est plus question que d’éliminer $y'$ et $y''$ pour obtenir la valeur de $y$.

L’élimination de $y''$ entre les deux dernières donne