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QUESTIONS

$\left(1+a+a^{2}+\ldots +a^{\alpha }\right)\left(1+b+b^{2}+\ldots +b^{\beta }\right)\left(1+c+c^{2}+\ldots +c^{\gamma }\right)\ldots ,$

dont les termes, au nombre de $(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)\ldots ,$ sont, comme l’on sait, tous les diviseurs de $D,$ pris une seule fois chacun.

III. Soit désignée par $f$ une fonction d’un nombre quelconque $k,$ dont la définition soit

$f(k)={\frac {\left({\frac {m}{k}}\right)!}{\left({\frac {p}{k}}\right)!\left({\frac {q}{k}}\right)!\left({\frac {r}{k}}\right)!\ldots }},\quad$d’où$\quad f(1)={\frac {m!}{p!q!r!\ldots }}.$

IV. Soit enfin

$a^{\alpha '}b^{\beta '}c^{\gamma '}\ldots$

le terme général de la suite que forment les diviseurs de $D$ ; de sorte qu’on puisse en déduire tous ces diviseurs, en donnant successivement à chacun des exposans $\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$ toutes les valeurs entières, positives ou nulles, que permettront les conditions

$\alpha '<\alpha +1,\quad \beta '<\beta +1,\quad \gamma '<\gamma +1,\ldots$

V. Alors le nombre d’arrangemens circulaires cherché sera la somme des termes d’une suite de $(\alpha +1)(\beta +1)(\gamma +1)\ldots$ termes, dont le terme général sera

${\frac {a^{\alpha '-1}b^{\beta '-1}c^{\gamma '-1}\ldots (a-1)(b-1)(c-1)}{m}}f(a^{\alpha '}b^{\beta '}c^{\gamma '}\ldots ).$

et qui devra conséquemment renfermer tous les termes de cette forme qui pourront être formés sous les conditions ci-dessus énoncées.

11. Remarque I. Si le plus grand commun diviseur $D$ des nombres $p,q,r,\ldots$ était simplement le produit $abc\ldots$ de plusieurs nombres premiers, inégaux, le terme général de la suite deviendrait simplement

${\frac {(a-1)(b-1)(c-1)}{m}}f(abc\ldots )$

dans lequel on devrait successivement admettre et rejeter une ou plusieurs des lettres $a,b,c,\ldots \,;$ en sorte que le nombre cherché serait de la forme