338
QUESTIONS
![{\displaystyle \left(1+a+a^{2}+\ldots +a^{\alpha }\right)\left(1+b+b^{2}+\ldots +b^{\beta }\right)\left(1+c+c^{2}+\ldots +c^{\gamma }\right)\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cb58a27eb3916c64c017540cd630f198115c02)
dont les termes, au nombre de
sont, comme l’on sait, tous les diviseurs de
pris une seule fois chacun.
III. Soit désignée par
une fonction d’un nombre quelconque
dont la définition soit
![{\displaystyle f(k)={\frac {\left({\frac {m}{k}}\right)!}{\left({\frac {p}{k}}\right)!\left({\frac {q}{k}}\right)!\left({\frac {r}{k}}\right)!\ldots }},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da30ffa7d9363abbf7dca8b1aa70a9448247e97d)
d’où
![{\displaystyle \quad f(1)={\frac {m!}{p!q!r!\ldots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a075875186c71ad068d70e6139c6af8594c5cac)
IV. Soit enfin
![{\displaystyle a^{\alpha '}b^{\beta '}c^{\gamma '}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba9d764f44a424942626a073a28910d248b18956)
le terme général de la suite que forment les diviseurs de
; de sorte qu’on puisse en déduire tous ces diviseurs, en donnant successivement à chacun des exposans
toutes les valeurs entières, positives ou nulles, que permettront les conditions
![{\displaystyle \alpha '<\alpha +1,\quad \beta '<\beta +1,\quad \gamma '<\gamma +1,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79f6dc1fe6b3150f4e566c9278b1ad5a62fe9ea)
V. Alors le nombre d’arrangemens circulaires cherché sera la
somme des termes d’une suite de
termes, dont le terme général sera
![{\displaystyle {\frac {a^{\alpha '-1}b^{\beta '-1}c^{\gamma '-1}\ldots (a-1)(b-1)(c-1)}{m}}f(a^{\alpha '}b^{\beta '}c^{\gamma '}\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e86286d33e4df427e85d1cfbfe34c67ee2725dd)
et qui devra conséquemment renfermer tous les termes de cette forme qui pourront être formés sous les conditions ci-dessus énoncées.
11. Remarque I. Si le plus grand commun diviseur
des nombres
était simplement le produit
de plusieurs nombres
premiers, inégaux, le terme général de la suite deviendrait simplement
![{\displaystyle {\frac {(a-1)(b-1)(c-1)}{m}}f(abc\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6a3cc1e65dafafc6bd12f0d8765624630903e8)
dans lequel on devrait successivement admettre et rejeter une ou plusieurs des lettres
en sorte que le nombre cherché serait de la forme