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DE LA RÈGLE.

${\begin{alignedat}{2}{\frac {1}{m}}f(1)+&{\frac {a-1}{m}}f(a)+&{\frac {(a-1)(b-1)}{m}}f(ab)+&\ldots \\+&{\frac {b-1}{m}}f(b)+&{\frac {(a-1)(c-1)}{m}}f(ac)+&\ldots \\+&{\frac {c-1}{m}}f(c)+&{\frac {(b-1)(c-1)}{m}}f(bc)+&\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots +&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +&\ldots \end{alignedat}}$

12. Remarque II. Si le plus grand commun diviseur $D$ des nombres $p,q,r,\ldots$ était simplement une puissance $a^{\alpha }$ d’un nombre premier $a,$ le terme général de la suite deviendrait

${\frac {a^{\alpha '-1}(a-1)}{m}}f\left(a^{\alpha '}\right)\,;$

cette suite serait donc

${\tfrac {1}{m}}f(1)+{\tfrac {a-1}{m}}f(a)+{\tfrac {a(a-1)}{m}}f(a^{2})+{\tfrac {a^{2}(a-1)}{m}}f(a^{3})+\ldots +{\tfrac {a^{\alpha -1}(a-1)}{m}}f(a^{\alpha })$

13. Remarque III. Si le plus gçand commun $D$ des nombres $p,q,r,\ldots$ était l’unité, c’est-à-dire, si ces nombres étaient premiers entre eux, alors $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ seraient nuls ; et la formule se réduirait à son premier terme

${\frac {1}{m}}f(1)\quad$ou$\quad {\frac {m!}{m(p!q!r!\ldots )}},$

ainsi que cela doit être (5).

14. Remarque IV. Si enfin les $m$ lettres données étaient toutes égales entre elles et à $P$ ; on aurait $p=m,$ et les nombres $q,r,\ldots$ n’existeraient pas ; on aurait donc

$f(k)={\frac {\left({\frac {m}{k}}\right)!}{\left({\frac {m}{k}}\right)!}}=1\,;$

toutes les fonctions désignées par f se réduiraient donc à l’unité ;