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RÉSOLUES.

$c-pa-qb=(c-\gamma )-p(a-\alpha )-q(b-\beta )\,;$

$\left\{(1+p^{2})(c-\gamma )^{2}-2q(b-\beta )(c-\gamma )+(p^{2}+q^{2})(b-\beta )^{2}-p^{2}r^{2}\right\}\times$

$(x-a)^{2}$

$\left\{(1+q^{2})(c-\gamma )^{2}-2p(a-\alpha )(c-\gamma )+(p^{2}+q^{2})(a-\alpha )^{2}-q^{2}r^{2}\right\}\times$

$(y-b)^{2}$

$+2\left\{pq(c-\gamma )^{2}+p(b-\beta )(c-\gamma )+q(a-\alpha )(c-\gamma )\right.$

$\left.-(p^{2}+q^{2})(a-\alpha )(b-\beta )-pqr^{2}\right\}(x-a)(y-b)$

$+2c\left\{p(b-\beta )^{2}+\left(1+p^{2}\right)(a-\alpha )(c-\gamma )+pq(b-\beta )(c-\gamma )\right.$

$\left.-q(a-\alpha )(b-\beta )-pr^{2}\right\}(x-a)$

$+2c\left\{q(a-\alpha )^{2}+\left(1+q^{2}\right)(b-\beta )(c-\gamma )+pq(a-\alpha )(c-\gamma )\right.$

$\left.-p(a-\alpha )(b-\beta )-qr^{2}\right\}(y-b)$

$+c^{2}\left\{(1+p^{2})(a-\alpha )^{2}+2pq(a-\alpha )(b-\beta )+(1+q^{2})(b-\beta )^{2}-r^{2}\right\}=0.\ \mathrm {(8)}$

Cela posé, soient prises pour les équations de nos deux courbes tracées sur le plan des $xy,$

$Ax^{2}+By^{2}+2Cxy+2Dx+2Ey+F=0,\qquad$(9)

$A'x^{2}+B'y^{2}+2C'xy+2D'x+2E'y+F'=0.\qquad$(10)

La première pourra être mise sous la forme suivante :

$\left.{\begin{aligned}&A(x-a)^{2}+B(y-b)^{2}+2C(x-a)(y-b)\\&+2(Aa+Cb+D)(x-a)+2(Bb+Ca+E)(y-b)\\&\left(Aa^{2}+Bb^{2}+2Cab+2Da+2Eb+F\right)=0.\\\end{aligned}}\right\}\quad (11)$

Cette équation ne devant différer au plus de l’équation (8) que par un certain facteur $\lambda ,$ on devra avoir