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QUESTIONS

Telle est donc la relation qui doit exister entre $m$ et $n$ pour que les équations (4) appartiennent à une génératrice du premier des deux cônes.

On obtiendra donc l’équation de ce premier cône, en éliminant $m$ et $n$ de l’équation (6), au moyen des équations (4) ; ce qui donnera, en chassant les dénominateur,

$\left\{(a-\alpha )^{2}+(b-\beta )^{2}+(c-\gamma )^{2}-r^{2}\right\}\left\{p(x-a)+q(y-b)-(z-c)\right\}^{2}$

$+2(c-pa-qb)\left\{p(x-a)+q(y-b)-(z-c)\right\}\times$

$\left\{(a-\alpha )(x-a)+(b-\beta )(y-b)+(c-\gamma )(z-c)\right\}$

$+(c-pa-qb)^{2}\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right\}=0.\quad$(7)

En faisant $z=0,$ dans cette équation, on trouvera, pour l’intersection du cône avec le plan des $xy$

$\left\{(a-\alpha )^{2}+(b-\beta )^{2}+(c-\gamma )^{2}-r^{2}\right\}\left\{p(x-a)+q(y-b)+c\right\}^{2}$

$+2(c-pa-qb)\left\{p(x-a)+q(y-b)+c\right\}\times$

$\left\{(a-\alpha )(x-a)+(b-\beta )(y-b)-(c-\gamma )c\right\}$

$+(c-pa-qb)^{2}\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+c^{2}\right\}=0\,;$

ou en développant, ordonnant et ayant égard à l’équation (2), en vertu de laquelle