Les relations élégantes qui se trouvent exister entre les neuf arbitraires introduites par la transformation, lorsqu’elles sont bien connues et employées avec adresse, permettent souvent d’heureuses simplifications dans les calculs ; mais elles deviennent aussi quelquefois une source d’embarras. À la vérité, on pourrait en faire usage pour substituer à six des neuf arbitraires des fonctions équivalentes des trois autres, qui alors entreraient seules dans les formules ; mais, en faisant même de celles-ci le choix le plus avantageux ; c’est-à-dire, en prenant, avec M. Monge, les cosinus des angles que forment respectivement les nouveaux axes avec ceux que l’on suppose leur correspondre dans le système primitif, on ne parvient qu’à des formules radicales, dont la symétrie ne saurait racheter la complication ; et qui sont conséquemment plus curieuses qu’utiles.
Guidé par cette considération, que tout changement de situation d’un angle trièdre dans l’espace autour de son sommet peut toujours être effectué au moyen de trois rotations exécutées successivement autour de ses arêtes, Euler a donné un autre procédé de transformation ; adopté depuis par Lagrange et Laplace. La méthode d’Euler a l’avantage de n’exiger qu’une application trois fois réitérée des formules très-simples à l’aide desquelles on passe, dans la géométrie plane, d’un système rectangulaire à un autre système rectangulaire de même origine que celui-là ; cette méthode a encore l’avantage de ne mettre en évidence que trois arbitraires absolument indépendantes, comme la nature du problème l’exige ; mais malheureusement les formules auxquelles elle conduit, assez compliquées d’ailleurs, manquent totalement de cette élégante symétrie si justement recherchée aujourd’hui dans l’analise algébrique, et la valeur de chacune des coordonnées primitives, en fonction de celles qu’on leur substituent, se trouve être plus ou moins simple, suivant l’ordre observé dans les trois rotations successives. Nous devons remarquer, au surplus, que les trois arbitraires introduites, lesquelles sont ici les angles qui mesurent les trois rotations, entrant à la fois dans les formules par leur sinus et par leur cosinus ; il s’ensuit que,
