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DES COORDONNÉES.

${\begin{aligned}&(1-a^{2})\alpha ^{2}-2bc\beta \gamma \\+&(1-b^{2})\beta ^{2}-2ca\gamma \alpha \\+&(1-c^{2})\gamma ^{2}-2ab\alpha \beta \,;\\\end{aligned}}$

ou, par la relation (4),

$1-(a\alpha +b\beta +c\gamma )^{2}\,;$

ou enfin, par la relation (6),

$1-a^{2},\quad$ou$\quad b^{2}+c^{2}.$

Il viendra conséquemment

$m={\frac {\alpha -a^{2}}{b^{2}+c^{2}}}={\frac {\alpha -a^{2}}{1-a^{2}}}.\qquad$(7)

À cause du radical de la valeur primitive de $m,$ on pourrait concevoir du doute sur le signe du second membre de cette dernière équation ; mais en remarquant que, par la nature du problème, on doit avoir en même temps $\alpha =1$ et $m=1$, on se convaincra que ce signe doit être positif.

Présentement, on tirera des équations (4, 6, 7), en ayant égard aux relations (3, 5)

${\begin{aligned}&\alpha =a^{2}(1-m)+m,\\&\beta =ab(1-m)\pm cn,\\&\gamma =ac(1-m)\mp bn.\\\end{aligned}}$

Pour lever l’ambiguïté des signes, supposons que l’axe fixe, soit symétriquement situé par rapport aux axes des coordonnées primitives, et que l’on fasse faire au système un tiers de révolution entière autour de cet axe ; il est clair qu’alors l’axe des $t$ devra coïncider