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RECHERCHES

${\frac {a^{2}+b^{2}-x^{2}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-x^{2}\right)^{2}}}}+{\frac {c^{2}+d^{2}-x^{2}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-\left(c^{2}+d^{2}-x^{2}\right)^{2}}}}=0.$

Transposant, quarrant et chassant les dénominateurs, on aura

$\left(a^{2}+b^{2}-x^{2}\right)^{2}\left\{4c^{2}d^{2}-\left(c^{2}+d^{2}-x^{2}\right)^{2}\right\}=\left(c^{2}+d^{2}-x^{2}\right)^{2}{4a^{2}b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-x^{2}\right)^{2}}=0$

ou, en développant, réduisant et transposant,

$c^{2}d^{2}\left(a^{2}+b^{2}-x^{2}\right)^{2}-a^{2}b^{2}\left(c^{2}+d^{2}-x^{2}\right)^{2}=0,$

c’est-à-dire,

$\left\{cd\left(x^{2}-a^{2}-b^{2}\right)+ab\left(x^{2}-c^{2}-d^{2}\right)\right\}\left\{cd\left(x^{2}-a^{2}-b^{2}\right)-ab\left(x^{2}-c^{2}-d^{2}\right)\right\}=0.$

ce qui donne ces deux valeurs

$x^{2}={\frac {cd\left(a^{2}+b^{2}\right)\pm ab\left(c^{2}+d^{2}\right)}{ab+cd}}={\frac {(ac\pm bd)(bc\pm ad)}{ab+cd}}\,;$

on trouve aisément d’ailleurs que les signes supérieurs répondent au minimum.

On déduit de là

$Cos.\mathrm {ABC} ={\frac {a^{2}+b^{2}-x^{2}}{2ab}}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}},$

$Cos.\mathrm {ADC} ={\frac {c^{2}+d^{2}+x^{2}}{2cd}}={\frac {c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{2(ab+cd)}}=-Cos.\mathrm {ABC} .$

Les angles $\mathrm {ABC,ADC}$ sont donc supplément l’un de l’autre ; il en est donc de même des angles $\mathrm {BAD,BCD}$ ; le quadrilatère est donc inscriptible au cercle.