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SUR LES POLYGONES.

PROBLÈME II. Entre tous les quadrilatères qui ont les mêmes côtés, se succédant dans le même ordre, quel est celui qui a la plus grande ou la moindre surface ?

Solution. Tout se réduit évidemment à trouver la valeur de $x$ qui rend maximum ou minimum la quantité

${\sqrt {4a^{2}b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-x^{2}\right)^{2}}}+{\sqrt {4c^{2}d^{2}-\left(c^{2}+d^{2}-x^{2}\right)^{2}}}\,;$

égalant donc sa différentielle à zéro, il viendra

$Cos.\mathrm {AOB} =Cos.\mathrm {COD} =-Cos.\mathrm {BOC} =-Cos.\mathrm {DOA} =\operatorname {Cos} .\theta \,;$

et ensuite

$4k^{4}=(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \delta +\delta \alpha )\operatorname {Sin} .\theta \,;\qquad$(1)

nous auron de plus

${\begin{alignedat}{1}2\alpha \beta \operatorname {Cos} .\theta &=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-a^{2},\\2\beta \gamma \operatorname {Cos} .\theta &=b^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2},\\2\gamma \delta \operatorname {Cos} .\theta &=\gamma ^{2}+\delta ^{2}-c^{2},\\2\delta \alpha \operatorname {Cos} .\theta &=d^{2}-\delta ^{2}-\alpha ^{2}\,;\end{alignedat}}$

multipliant alors la somme de ces quatre dernières équations par l’équation (1), il viendra, toutes réductions faites,

$\operatorname {Cot} .\theta ={\frac {b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}}{4k^{2}}}.$
J. D. G.