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DES QUADRATURES.

VI. Convaincus que la formule relative au diviseur $12,$ donnée par M. Bérard, est vraie, devons-nous prononcer que celle de M. Kramp (Annales, tom. VI, pag. 377), qui en diffère est fausse ? La réponse basée sur les principes de M. Kramp lui-même (tom. VII, pag. 245) serait affirmative. D’ailleurs les deux méthodes fournissent les mêmes résultats pour les diviseurs $1,2,3,4,5,6,7,8$^[1]. Ainsi, ce ne serait qu’à partir du diviseur $8$ qu’elles commenceraient à devenir divergentes ; ce qui serait bien extraordinaire. Cependant, mon estimable ami, le Rédacteur des Annales pense que « on ne peut rien conclure pour ou contre les formules de MM. Kramp et Bérard des différences qu’elles présentent dans les applications » (Ibid. pag. 246, à la note). Il sera bien facile de décider la question, après le rapprochement que nous allons faire entre ces méthodes et une autre qui s’est offerte depuis long-temps aux analistes. La voici.

Soit

$y=\nu +Au+Bu^{2}+Cu^{3}+\ldots +Nu^{n},\qquad$(38)

l’équation d’une courbe parabolique complète, de l’ordre $n,$ passant à l’origine des $u,$ par le sommet de l’ordonnée $\nu \,;$ en l’obligeant à passer par les sommets des $n$ autres ordonnées $\operatorname {E} \nu ,\operatorname {E} ^{2}\nu ,\ldots \operatorname {E} ^{n}\nu ,$ également espacées, dans l’intervalle des limites $u=0,\ u=n$, nous aurons, pour déterminer les $n$ coefficiens $A,B,\ldots N$, les $n$ équations, dérivées de (38),

1. Il y a bien quelque différence relativement au diviseur $8\,;$ car le dénominateur commun des coefficiens, qui sont d’ailleurs les mêmes de part et d’autre, est 28350 chez M. Bérard et 89600 chez M. Kramp ; mais il est probable que la différence tient à une erreur typographique dans le dernier nombre ; puisque le premier supporte l’épreuve de l’hypothèse de l’égalité des ordonnées entre elles et avec l’unité.