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PROBLÈME

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {E} \nu &=\nu +\ \ A+\quad B+\ldots +N,\\\operatorname {E} ^{2}\nu &=\nu +2A+2^{2}B+\ldots +2^{n}N,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\operatorname {E} ^{n}\nu &=\nu +nA+n^{2}B+\ldots +n^{n}N,\\\end{aligned}}\right\}(39)$

On aura ensuite l’aire de cette courbe, entre les mêmes limites, en intégrant (38) multipliée par $\operatorname {d} u,$ depuis $u=0$ jusqu’à $u=n$ ; et, si cette aire, que j’appellerai Inscrite ou Aire de la courbe parabolique inscrite, est prise au lieu de l’aire $Z$ de la courbe vraie, on aura

$Z=n\nu +{\frac {An^{2}}{2}}+{\frac {Bn^{3}}{3}}+\ldots +{\frac {Nn^{n+1}}{n+1}}.\qquad$(40)

Il est visible qu’on arriverait au même résultat en éliminant les coefficiens $A,B,C,\ldots$ entre les équations (39 et 40).

Il est bien évident que le système des équations (38, 39) peut être remplacé par celui des équations

$y=\nu +{\frac {u}{1}}\Delta \nu +{\frac {u}{1}}.{\frac {u-1}{2}}\Delta ^{2}\nu +\ldots +{\frac {u}{1}}.{\frac {u-1}{2}}\ldots {\frac {u-n+1}{n}}\Delta ^{n}\nu ,\ {\rm {(41)}}$

$\Delta \nu =\operatorname {E} \nu -\nu ,\ \Delta ^{2}\nu =\operatorname {E} ^{2}\nu -2\operatorname {E} \nu +\nu ,\ldots$

$\Delta ^{n}\nu =\operatorname {E} ^{n}\nu -n\operatorname {E} ^{n-1}\nu +\ldots \pm \nu \,;\ {\rm {(42)}}$

car, d’aprés ce système, en faisant successivement dans (41) $u=0,\ u=1,$$u=2,\ldots u=n,$ vous trouverez successivement $y=\nu ,$$y=\operatorname {E} \nu ,y=\operatorname {E} ^{2}\nu ,$$\ldots y=\operatorname {E} ^{n}\nu \,;$ comme cela doit être. Or, les équations (41, 42) étant précisément celles entre lesquelles M. Kramp élimine les différences (IV) ; il est évident que la méthode de ce géomètre coïncide avec celle de cet article, c’est-à-dire, qu’elle donne,