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PROBLÈME

En multipliant celle-ci par $\operatorname {d} u,$ puis en intégrant entre les limites $u=0,u=n,$ et donnant le résultat pour l’aire $Z,$ on obtient enfin

$Z=\pm {\tfrac {1}{1.2\ldots n}}\left\{{\begin{aligned}\nu \left({\tfrac {n^{n+1}}{n+1}}-{\tfrac {n^{n}}{n}}S^{1}+u^{n-2}S^{2}-\ldots \pm \ nS^{n}\quad \right)&\\-{\tfrac {n}{1}}\operatorname {E} \nu \left({\tfrac {n^{n+1}}{n+1}}-{\tfrac {n^{n}}{n}}S_{1}^{1}+{\tfrac {n^{n-1}}{n-1}}S_{1}^{2}-\ldots \mp {\tfrac {n^{2}}{2}}S_{1}^{n-1}\right)&\\+{\tfrac {n}{1}}{\tfrac {n-1}{2}}\operatorname {E} ^{2}\nu \left({\tfrac {n^{n+1}}{n+1}}-{\tfrac {n^{n}}{n}}S_{2}^{1}+{\tfrac {n^{n-1}}{n-1}}S_{2}^{2}-\ldots \mp {\tfrac {n^{2}}{2}}S_{2}^{n-1}\right)&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\\\pm \operatorname {E} ^{n}\nu \left({\tfrac {n^{n+1}}{n+1}}-{\tfrac {n^{n}}{n}}S_{n}^{1}+{\tfrac {n^{n-1}}{n-1}}S_{n}^{2}-\ldots \mp {\tfrac {n^{2}}{2}}S_{n}^{n-1}\right)&\\\end{aligned}}\right\}(45)$

Telle est (45) la formule que nous avons promise ci-dessus (IV), et qui donne immédiatement des expressions fonctions du nombre $n,$ pour les coefficiens des coordonnées équidistantes.

Si nous prolongeons le second nombre de (38), jusqu’à la puissance $2n$ de $u,$ ce qui représente une courbe parabolique de l’ordre $2n$, nous exprimerons que cette courbe est inscrite à celle dont nous avons désigné l’aire par $W$ (21), en écrivant les équations, en nombre $n+1$

$\left.{\begin{array}{rl}\operatorname {E} \nu +\operatorname {E} ^{-n}\nu &=2\nu +2Bn^{2}\ \ \qquad +2Dn^{4}+\ldots \\\operatorname {E^{n-1}} \nu +\operatorname {E} ^{-(n-1)}\nu &=2\nu +2B(n-1)^{2}+2D(n-1)^{4}+\ldots \\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\operatorname {E} \nu +\operatorname {E} ^{-1}\nu &=2\nu +2B\ \ \ \qquad \quad +2D+\ldots \\\nu &=\nu \\\end{array}}\right\}(46)$

Si d’ailleurs nous prenons les deux aires particulières, l’une entre