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DES QUADRATURES.

au lieu de l’aire véritable $Z,$ l’aire de la courbe parabolique inscrite du degré $n.$

D’autre part, comme l’a démontré Lagrange (École normale, tom. IV), l’équation parabolique qui satisfait immédiatement aux conditions (38, 39) est la suivante :

$y=\pm {\frac {1}{1.2\ldots n}}\left\{{\begin{aligned}\nu \times (u-1)(u-2)(u-3)\ldots (u-n)&\\-n\operatorname {E} \nu .u\times (u-2)(u-3)\ldots (u-n)&\\+{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}\operatorname {E} ^{2}\nu .u(u-1)\times (u-3)\ldots (u-n)&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\\\pm \operatorname {E} ^{n}\nu .u(u-1)(u-2)\ldots (u-n+1)&\\\end{aligned}}\right\}(43)$

où il faut prendre le signe supérieur si $n$ est pair.

Or, en désignant par $S^{1},S^{2},S^{3},\ldots$ les sommes des produits $1$ à $1,\ 2$ à $2,\ 3$ à $3,\ldots$ des termes de la suite $1,2,3,\ldots n\,;$ par $S_{1}^{1},S_{1}^{2},S_{1}^{3},\ldots$ ces sommes de produits quand on exclut de la suite le terme $1$ ; et en général par $S_{k}^{1},S_{k}^{2},S_{k}^{3},\ldots$ ces mêmes sommes de produits, après l’exclusion du terme $k$ ; il est clair que l’équation (43) devient

$y=\pm {\frac {1}{1.2\ldots n}}\times$

$\left\{{\begin{aligned}\nu \left(u^{n}-u^{n-1}S^{1}+u^{n-2}S^{2}-\ldots \pm \ \ S^{n}\quad \right)&\\-{\frac {n}{1}}\operatorname {E} \nu \left(u^{n}-u^{n-1}S_{1}^{1}+u^{n-2}S_{1}^{2}-\ldots \mp uS_{1}^{n-1}\right)&\\+{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}\operatorname {E} ^{2}\nu \left(u^{n}-u^{n-1}S_{2}^{1}+u^{n-2}S_{2}^{2}-\ldots \mp uS_{2}^{n-1}\right)&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\\\pm \operatorname {E} ^{n}\nu \left(u^{n}-u^{n-1}S_{n}^{1}+u^{n-2}S_{n}^{2}-\ldots \mp uS_{n}^{n-1}\right)&\\\end{aligned}}\right\}(44)$