Mais, dira-t-on, la série dont il s’agit est de la classe des semi-convergentes ; or, celles-ci fournissent des approximations successives, tant qu’on ne dépasse pas la limite des termes décroissans. Je ne trouve, à l’appui de cette proposition qu’une assez faible induction, tandis qu’il faudrait une bonne démonstration. Le premier terme d’une série divergente est, en général, une approximation, dit-on. Quand cela serait, du moins est-il certain qu’il s’éloigne souvent beaucoup de la valeur exacte, et que rien dans la série ne peut aider à juger du degré d’approximation. Ainsi, dans notre exemple, ce n’est point de la série, mais d’ailleurs que je sais que le premier terme est une valeur approchée de On calcule même, ajoute-t-on, l’approximation que peut donner une série semi-convergente : on calcule le degré de petitesse du terme qui est à la naissance de la divergence. Soit, mais je ne sache pas qu’on démontre à priori que ce soit là la mesure de l’approximation que procure infailliblement la série : cette propriété elle-même de donner une approximation dont le terme est calculable serait un paradoxe qu’aucune induction ne pourrait faire admettre.
La série.
est convergente jusqu’au sixième terme et divergente au-delà ; elle est par conséquent semi-convergente. Or, cette série, multipliée par n’est autre chose que le développement de ou Ainsi, comme les séries absolument divergentes, les semi-convergentes peuvent exprimer des quantités imaginaires ; ce qui n’arrive jamais aux séries convergentes ; d’où il semble suivre que les premières doivent être, réunies en une seule et même classe ; comme les semi-divergentes se réunissent aux convergentes.
D’Alembert et Condorcet, qui se sont tant occupés des séries, n’admettaient point ces êtres équivoques appelés séries semi-convergentes. « Il faut, dit le dernier, que la suite donnée dans la
