104
PROBLÈME
la troisième pourrait absolument servir ; mais encore, pour obtenir
un résultat de même précision, le procédé parabolique des méthodes (IV, V), aidé des formules calculées dans les Annales, etc.,
me paraît-il plus facile ; mais voyons ce que donne la série (10).
À cause de
![{\displaystyle T={\frac {1}{2.6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{2.12}}=0{,}694877346,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ceaefee550439f0dc6fe32b1a4e865ebd3273d)
j’aurai
![{\displaystyle \operatorname {Log} .2=0{,}694877346-B_{1}{\frac {2^{2}-1}{12^{2}}}+B_{2}{\frac {2^{4}-1}{12^{4}}}-B_{3}{\frac {2^{6}-1}{12^{6}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6566914e105de1795a3e19fa531ba3d0987970bf)
Pour m’assurer de la convergence de cette série, qui renferme les
nombres de Bernouilli, j’égale en valeur absolue les deux termes
des rangs
d’où je tire
![{\displaystyle {\frac {B_{n+1}}{B_{n}}}={\frac {\left(2^{2n}-1\right)12^{2}}{2^{2(n+1)}-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea6cc00b470f4133b993cad668a922233824661)
Or, Euler, dans son Calcul différentiel, a démontré que le rapport de deux nombres de Bernouilli consécutifs converge assez rapidement vers l’expression
on pourra donc écrire
![{\displaystyle {\frac {n^{2}}{\varpi ^{2}}}={\frac {144\left(2^{2n}-1\right)}{2^{2(n+1)}-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21d089fd77b9a195be23a712d3521bc228815c6b)
d’où l’on tire
à peu près égale à
ou à
environ ; c’est-à-dire
que la série devient divergente après les
premiers termes ; elle
est donc absolument divergente ; car, aux
premiers termes,
réunissez quelques-uns des autres, pour former un seul premier
terme, et vous aurez une série toute divergente, qui par elle-même n’apprendra rien sur la valeur de
au moins dans l’état actuel de l’analise.